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■総和記号 Σ(シグマ)に慣れよう … (全くの初心者向き)
○ 和を表わす記号Σでは,次のように「式」の形のところの「変数で指定されたものを」「初めの値」から「終りの値まで」「1ずつ増やして」できる項の「和」を表わす.
例1

k = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 ( = 15 になる)

例2

k = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 ( = 28 になる)

例3

k = 2 + 3 + 4 ( = 9 になる)
○ Σ記号の内部で使う「変数」は,「式」の部分と同じ文字であればよく,どんな文字が使われているかは,和を求めた結果に影響しない.(変数が,式の部分と異なる文字のときは,無関係になりむしろ簡単になる[後出:例6,7参照]) 例4

k = 1 + 2 + 3 + 4 ( = 10 になる)

m = 1 + 2 + 3 + 4 ( = 10 になる)
○ 「変数」で指定された文字だけを順に増加させるものとし,それ以外の文字や定数は変化させない.

例5

5i = 5・1 + 5・2 + 5・3 + 5・4 (= 5 + 10 + 15 + 20 = 50 になる)

(この i は虚数とは関係ない)
例6

n = n + n + n + n ( = 4n になる)

例7

5 = 5 + 5 + 5 + 5 ( = 20 になる)

(注) 単に  と書けば 1 を表わす約束になっている.

したがって,  = 1 + 1 + … + 1 = n となる.
○ 「変数」は添字や指数などに使われることもある. 例8

ak = a1 + a2 + a3 + a4 + a5

例9

2k = 21 + 22 + 23 + 24 = 2 + 4 + 8 + 16 ( = 30 になる)

○ Σ記号は積でつながっている範囲まで作用する.作用する範囲を明確にするために「かっこ」が使える. 例10

N + 1 = ( 1 + 2 + 3 + 4 + 5 ) + 1 ( = 16 になる)

例11

( N + 1 ) = ( 2 + 3 + 4 + 5 + 6) ( = 20 になる)

例12

k( k + 1 ) = 1・2 + 2・3 + 4・5 + 5・6 = ( 2 + 6 +20 + 30 = 58 になる)

例13

( k + 1 )2 = ( 1 + 1 )2 + ( 2 + 1 )2 + … + ( n + 1 )2
○ Σ記号が有限個の和を表わすとき,次の性質を満たす.(和差,定数倍のΣは,Σの和差,定数倍になる)

(1)  ( ak + bk ) = ak + bk

(2)  cak = c ak

(ただし,積や商のΣはΣの積や商とは一般に等しくない.)


akbk ak bk

証明
(1)  ( ak + bk ) = ( a1 + b1 ) + ( a2 + b2 ) + … + ( an + bn )

= ( a1 + a2 + … + an ) + ( b1 + b2 + … + bn )

= ak + bk

(2)  cak = ca1 + ca2 + … + can = c( a1 + a2 + … + an ) = c ak
○ 括弧を展開して別々に総和を求めることができる. 例14

( xk - c )2 = ( xk2 - 2cxk + c2 )

= xk2 - 2cxk + c2
 
例15
右の表のように,変数 Xn 個の値 x1, x2, …, xn をとるとき,これらn個の値の期待値(平均値)は,

E(X) = = =
変数 X x1 x2 xn
例16
右の度数分布表において

度数の総和は N = fk

変数 X の期待値(平均値)は E(X) = =


だから, E(X) =   = =

変数 X x1 x2 xn
度数 f1 f2 fn N
例17
確率変数 X の確率分布が右の表で与えられるとき,確率変数 X の期待値(平均値)は,E(X) = = x1 p1 + x2 p2 + … + xn pn で定義されるから,
E(X) =    = xk pk

確率変数 X x1 x2 xn
確率 p1 p2 pn 1
■簡単な穴埋め問題
(1)
2k = 21 + 22 + … + n 

(2)

k2 = 12 + 22 + … + 2 

(3)
m = xk とおくとき, ( xk - m )2 = ( xk2 - xk + 2 ) = xk2 - 2 xk + 2


= xk2 - 2m2 + m2 = xk2 - m2
(4)

pk = 1E = xk pkF = xk2pkV = ( xk - E )2pk のとき,VEF で表わすと,

V = ( xk2 - xk + 2 ) pk = xk2pk - 2Exk pk + E2pk = - 22 + 2 = F - E2

(※英字の大文字・小文字の区別あり)

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