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《このページは問と答だけです.》
 === <いろいろな因数分解> ===

 次の各式を因数分解しなさい.(係数は整数の範囲とします.)(解答を見るには問題文を押す.)
1《 次数最低の文字について整理する 》
□1 (b−c)+b(c−a)+c(a−b) □2 (b−c)+b(c−a)+c(a−b)
□3 (a+b)(b+c)(c+a)+abc □4 (a+b+c)(ab+bc+ca)−abc
□5 abx−(a+b)x+ab □6 (a−b)x+4abxy−(a−b)y

2《 置き換え 》
□1 (x+3x)(x+3x−2)−8 □2 (x+1)(x+2)(x+3)(x+4)−8
□3 (x+2)(x+3)(x−4)(x−5)−44 □4 (x−1)(x−2)(x−3)(x−6)−3x
□5 xy+(x+1)(y+1)(xy+1)

3《 x+y3 または x−y3 に持ち込む》
《 x+y+z−3xyz=(x+y+z)(x+y+z−xy−yz−zx)を適用する 》
□1 3+y3+1−3xy □2 8x3−27y3−18xy−1
□3 (b-c)3+(c-a)3+(a-b)3 □4 (a+b+c)3-a3-b3-c3
□5 (x−y)3+(y−z)3−3(x−y)(y−z)(z−x) □6 (x+y+z)3-(y+z-x)3-(z+x-y)3-(x+y-z)3

4《 □−○に持ち込む 》
□1 +3x+4 □2 −6x+1
□3 −13x+4 □4 +2x+9y
□5 +x+y □6 (a+b)+(a+b)(a-b)+(a-b)
□7 a+b+c−2a−2b−2c □8 (x−y)−8(x+y)+16

 

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《解答》

1《 次数最低の文字について整理する 》
□1 a(b−c)+b(c−a)+c(a−b)
a:2次,b:2次,c:2次(どの文字でも条件は同じ)→aについて整理する
原式=(b−c)a−(b−c)a+bc(b−c)=(b−c)−(b+c)(b−c)a+bc(b−c)
(b−c){a−(b+c)a+bc}
{ }内は,a:2次,b:1次,c:1次なので,bまたはcで整理する方法もあるが,
和と積の因数分解として,そのまま継続してもよい.
=(b−c)(a−b)(a−c)
=−(a−b)(b−c)(c−a)・・・(答)[↑戻る]
□2 a(b−c)+b(c−a)+c(a−b)
a:3次,b:3次,c:3次(どの文字でも条件は同じ)→aについて整理する
原式=(b−c)a−(b−c)a+(bc−cb)
(b−c)a−(b−c)(b+bc+c)a+bc(b−c
(b−c)(b−c)(b+bc+c)a+bc(b−c)(b+c)
(b−c){a−(b+bc+c)a+bc(b+c)}・・・(1)
{ }内は,a:3次,b:2次,c:2次→bで整理する

{a−(b+bc+c)a+bc(b+c)}
=(c−a)b+(c−ac)b+(a−ac
=(c−a)b+c(c−a)b+a(a−c
(c−a)+c(c−a)b−a(c−a)(c+a)
(c−a){b+cb−a(c+a)}・・・(2)

{ }内は,a:2次,b:2次,c:1次→cで整理する

{b+cb−a(c+a)}
=(b−a)c+(b−a
(b−a)c+(b−a)(b+a)
(b−a)(c+b+a)・・・(3)

(3)を(2)に,(2)を(1)に代入する
原式=(b−c)(c−a)(b−a)(c+b+a)
=−(a+b+c)(a−b)(b−c)(c−a)・・・(答)[↑戻る]
□3 (a+b)(b+c)(c+a)+abc
a:2次,b:2次,c:2次(どの文字でも条件は同じ)→aについて整理する
原式=(b+c){a+(b+c)a+bc}+abc
=(b+c)a+{(b+c)+bc}a+(b+c)bc
たすきがけ:(b+c)=(b+c)・1, (b+c)bc=bc・(b+c)
={(b+c)a+bc}{a+b+c}
=(ab+bc+ca)(a+b+c)・・・(答)[↑戻る]
□4 (a+b+c)(ab+bc+ca)−abc
a:2次,b:2次,c:2次(どの文字でも条件は同じ)→aについて整理する
原式=+(b+c)}{(b+c)+bc}−bc
=(b+c)bc+(b+c)+bc(b+c)−bc
(b+c)(b+c)+bc(b+c)
(b+c)+(b+c)+bc}
=(b+c)(a+b)(a+c)
=(a+b)(b+c)(c+a)・・・(答)[↑戻る]
□5 abx−(a+b)x+ab
a:2次,b:2次,x:2次(どの文字でも条件は同じ)→xについて整理できているので,xについて
たすきがけ
原式=(ax−b)(bx−a)・・・(答)[↑戻る]
□6 (a−b)x+4abxy−(a−b)y
a:2次,b:2次,x:2次,y2:次(どの文字でも条件は同じ)→xについて整理できているので,xについて
たすきがけ
原式={(a-b)x+(a+b)y}{(a+b)x-(a-b)y}
=(ax-bx+ay+by)(ax+bx-ay+by)・・・(答)[↑戻る]


2《 置き換え 》
□1 (x+3x)(x+3x−2)−8
+3x=Aとおく
原式=A(A−2)−8=A−2A−8=(A+2)(A−4)=(x+3x+2)(x+3x−4)
=(x+1)(x+2)(x+4)(x−1)・・・(答)[↑戻る]
□2 (x+1)(x+2)(x+3)(x+4)−8
まとまったもの,2回以上出てくるものは =Aなどとおいて,置き換えによって簡単にします.□1の問題のように,初めから「見つかるとき」は,それを置き換えますが,□2の問題のように同じものが見つからないときは,「作ってでも」置き換えに持っていきます.
その際,(x+1)(x+2)=x+3x+2, (x+3)(x+4)=x+7x+12 と展開すると,同じものができませんが,
(x+2)(x+3)=+5x+6, (x+1)(x+4)=+5x+4 のように展開すると,+5xが2回登場します.
原式=(x+5x+6)(x+5x+4)−8
+5x=A とおくと
原式=(A+6)(A+4)−8=A+10A+24−8=A+10A+16=(A+2)(A+8)
=(x+5x+2)(x+5x+8)・・・(答)[↑戻る]
□3 (x+2)(x+3)(x−4)(x−5)−44
={(x+2)(x−4)}{(x+3)(x−5)}−44
=(−2x−8)(−2x−15)−44
−2x=Aとおく
原式=(A−8)(A−15)−44
=A−23A+120−44=A−23A+76=(A−19)(A−4)
=(x−2x−19)(x−2x−4)・・・(答)[↑戻る]
□4 (x−1)(x−2)(x−3)(x−6)−3x
同じものは始めの2項とは限りません.この問題では,どの組合せを考えても,初めの2項には同じものはできません.
しかし,2次+定数項なら,同じものが登場します.
(x−1)(x−6)=+6−7x, (x−2)(x−3)=+6−5x
原式={(x−1)(x−6)}{(x−2)(x−3)}−3x=(x+6−5x)(x+6−7x)−3x
+6=Aとおく
原式=(A−5x)(A−7x)−3x=A−12Ax+35x−3x=A−12Ax+32x
=(A−4x)(A−8x)=(x+6−4x)(x+6−8x)=(x−4x+6)(x−8x+6)・・・(答)[↑戻る]
□5 xy+(x+1)(y+1)(xy+1)
「何か同じものはできないか」と考えます.
原式=xy+(xy+1+x+y)(xy+1
xy+1=Aとおくと
原式=xy+(A+x+y)A=A+(x+y)A+xy=(A+x)(A+y)=(xy+x+1)(xy+y+1)・・・(答)[↑戻る]


3《 x+y3 または x−y3 に持ち込む》
《 x+y+x−3xyz=(x+y+z)(x+y+z−xy−yz−zx)を適用する 》
□1 x3+y3+1−3xy
=x3+y3+13−3・x・y・1=(x+y+1)(x+y+1−xy−y・1−x・1)
=(x+y+1)(x+y+1−xy−y−x)・・・(答)  [↑戻る]
□2 8x3−27y3−18xy−1
=(2x)3+(−3y)3+(−1)3−3(2x)(−3y)(−1)
=(2x−3y−1)(4x+9y+1+6xy−3y+2x)・・・(答)  [↑戻る]
□3 (b-c)3+(c-a)3+(a-b)3
b−c=A,c−a=Bとおくと,A+B=b−a・・(1)
原式=A3+B3+(a-b)3
=(A+B)(A−AB+B)+(a-b)3
=(b−a)(A−AB+B)+(a-b)3  (なぜなら,(1))
=(b−a)(A−AB+B−(b−a)
=(b−a)(b−2bc+c −bc+ba+c−ac +c−2ac+a −a+2ab−b
=(b−a)(−3bc+3c−3ac+3ab)
=(b−a)3{a(b−c)+c(c−b)}
=(b−a)3(b−c)(a−c)
=3(a−b)(b−c)(c−a)・・・(答)

<別解>
b−c=A,c−a=B,a−b=Cとおくと,A+B+C=0・・・(2)
+B+C−3ABC=(A+B+C)(A+B+C−AB−BC−CA)において(2)により右辺は0
ゆえにA+B+C=3ABC=3(b−c)(c−a)(a−b)・・・(答)  [↑戻る]

□4 (a+b+c)3-a3-b3-c3
 
={(a+b+c)3-a3}-(b3+c3
=(a+b+c-a){(a+b+c)2+(a+b+c)a+a2}−(b+c)(b2-bc+c2)
共通因数 b+c でくくる.
=(b+c){(a+b+c)2+(a+b+c)a+a2−(b2-bc+c2)}
=(b+c)(a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca+a2+ab+ac+a2-b2+bc-c2)
=(b+c)(3a2+3ab+3bc+3ca)
第2の()内をcについて整理する
=3(b+c)((a+b)c+a(a+b))
共通因数 a+b でくくる.
=3(b+c)(a+b)(c+a)=3(a+b)(b+c)(c+a)・・・(答)  [↑戻る]
(なお,数学Bの因数定理を使えば,
aの式 f(a)=(a+b+c)3-a3-b3-c3において
f(-b)=c3+b3-b3-c3=0だから,f(a)はa+bで割り切れる.
同様にして
f(-c)=b3+c3-b3-c3=0だから,f(a)はa+cで割り切れる.
また
bの式 g(b)=(a+b+c)3-a3-b3-c3において
g(-c)=a3-a3+c3-c3=0だから,g(b)はb+cで割り切れる.
もとの式は3次式だから,
f(a)=k(a+b)(a+c)(b+c) ・・・(1)とおける.(kは定数)
もとの式から f(0)=3b2c+3bc2
(1)からf(0)=kbc(b+c)だからk=3
ゆえに,3(a+b)(b+c)(c+a)・・・(答))
□5 (x−y)3+(y−z)3−3(x−y)(y−z)(z−x)
x−y=A,y−z=B,z−x=Cとおくと,A+B+C=0だから,A3+B3+C3−3ABC=0
原式=A3+B3−3ABC=−C3=−(z−x)3・・・(答)
<別解>
x−y=A,y−z=Bとおくと,A+B=x−z
原式=A3+B3−3(x−y)(y−z)(z−x)
=(A+B)(A−AB+B)−3(x−y)(y−z)(z−x)
=(x−z)(A−AB+B)−3(x−y)(y−z)(z−x)
=(x−z){A−AB+B+3(x−y)(y−z)}
=(x−z){(x−y)−(x−y)(y−z)+(y−z)+3(x−y)(y−z)}
=(x−z){(x−y)+2(x−y)(y−z)+(y−z)
=(x−z){(x−y)+(y−z)}
=(x−z)(x−z)=(x−z)・・・(答)  [↑戻る]
□6 (x+y+z)3-(y+z-x)3-(z+x-y)3-(x+y-z)3
x+y+z=A,y+z-x=B,z+x-y=C,x+y-z=Dとおくと,A−B=2x,C+D=2x
原式=A3−B3−(C3+D3)=(A−B)(A+AB+B)-(C+D)(C−CD+D)
=(2x)(A+AB+B)-(2x)(C−CD+D)
=2x(A+AB+B−C+CD−D)
ここで
2= x2 +y2 +z2 +2xy +2yz +2zx
AB=(y+z)2-x2
  =−x2+y2+z2     +2yz
2=x2 +y2 +z2 -2xy +2yz -2zx
−C2=-x2-y2-z2 +2xy +2yz -2zx
CD=x2−(y−z)2
  =x2−y2−z2      +2yz
−D2=−x2−y2−z2−2xy+2yz +2zx だから
+AB+B−C+CD−D=12yz
原式=24xyz・・・(答)  [↑戻る]


4《 □−○に持ち込む 
□1  +3x+4
=(+2−x=(x+x+2)(x−x+2)・・・(答)  [↑戻る]
□2 −6x+1
=(−1−(2x)=(x+2x−1)(x−2x−1)・・・(答)  [↑戻る]
なお,(x+1)−(√8x)=(x+√8x+1)(x−√8x+1)は,正しい変形ですが無理係数を使っていますので,問題文に示された指定に合いません.
さらに,これらは,1つの式に対して異なる2種類の因数分解があるように見えますが,
(x+1+√2)(x+1−√2)(x−1+√2)(x−1−√2)と書かれる式において
{(x+1+√2)(x+1−√2)}×{(x−1+√2)(x−1−√2)}の形で見せているものと
{(x+1+√2)(x−1+√2)}×{(x+1−√2)(x−1−√2)}の形で見せているものの見かけが異なるだけで,同一の式です.
□3 x−13x+4
=(−2−(3x)=(x+3x−2)(x−3x−2)・・・(答)  [↑戻る]
なお,(x+2)−(√17x)=(x+√17x+2)(x−√17x+2)の変形が問題文に合わないのは,□1と同様です.
(x+a)−○型か(x−a)−○型かを,前もって見分けることはできません.「両方試してみれば分かる」と考えます.
□4 +2x9y
=(+3y−(2xy)=(x+2xy+3y)(x−2xy+3y)・・・(答)  [↑戻る]
□5 +x+y
=(4+y4)2-(x2y2)2=(4+x+y4)(x4-x+y4
={(x2+y-(xy)}(x4-x+y4)=(x2+xy+y)(x2-xy+y)(x4-x+y4)・・・(答)  [↑戻る]
□6 (a+b)+(a+b)(a-b)(a-b)
={(a+b)2+(a-b)}-{(a+b)(a-b)}={(a+b)2+(a+b)(a-b)+(a-b)}{(a+b)2-(a+b)(a-b)+(a-b)}
={a2+2ab+b2+a2-b2+a2-2ab+b}{a2+2ab+b2-a2+b2+a2-2ab+b}
={3a2+b2}{a2+3b2}・・・(答)  [↑戻る]
□7 a+b+c−2a−2b−2c
=(a+b−c)−(2ab)=(a+b−c−2ab)(a+b−c+2ab)
={(a−b)−c}{(a+b)−c}=(a−b+c)(a−b−c)(a+b+c)(a+b−c)・・・(答)  [↑戻る]
なお,aについて整理すると次の答案になります.
a−2(b+c)a+(b+c−2b)=a−2(b+c)a+(−c
a−2(b+c)a+(b−c)b+c)a−2(+c)a+(−2bc+c+2bc+c
={a−(b−2bc+c)}{a−(b+2bc+c)}={a−(b−c)}{a−(b+c)
=(a−b+c)(a+b−c)(a−b−c)(a+b+c)・・・(答) )
□8 (x−y)−8(x+y)+16
−y=Aとおくと,x+y=A+2y だから,
原式=A−8(A+2y)+16=A−8A+16−16y=(A−4)−(4y)
=(A−4+4y)(A−4−4y)=(x−y−4+4y)(x−y−4−4y)
={x−(y−2)}{x−(y+2)}=(x+y−2)(x−y+2)(x+y+2)(x−y−2)・・・(答)  [↑戻る]
なお,x+y=Bとおくと,x−y=B−2y だから,
原式=(B−2y−8B+16=B−8B+16−4By+4y=(B−4−2y−16y
=(B−4−2y−4y)(B−4−2y+4y)=(x+y−4−2y−4y)(x+y−4−2y+4y)
=(x−4−y−4y)(x−4−y+4y) 以下同様です.