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正弦定理・余弦定理の応用
三角形の形状・証明問題
《解説》

 三角形の形状問題(正三角形,二等辺三角形,直角三角形など三角形の種類を言い当てる問題)や証明問題においては,正弦定理や余弦定理を変形して,角度に関する式を辺に関する式に直してから考えるのが原則です.
 
<原則>・・・角を辺に直す


tanは上記2つを用いてとします.
B,Cについても同様です.
 角度の関係式を辺の関係式に直すのは,一般に角度の関係式が変形しにくく,見通しを立てにくいからです:
例 sin(A+B)やsinAcosB-sinBcosAは変形しにくいが
 (a+b)2=a2+2ab+b2においては,文字式の通常の展開公式が使えます.

 例
 

 次の等式が成り立つとき,この△ABCはどんな形の三角形か.
 asinA=bsinB+csinC
 (答案)
 などを代入すると,
これより,a=b+c 
∠A=90゜の直角三角形・・・(答)

□ 最後の詰めは,どうするのか
 辺だけの関係式から,三角形の形状を言い当てるには,次のような性質を用います.
 

a=b → ∠A=∠Bの二等辺三角形
(b=c,c=aについても同様)
a=b=c → 正三角形
 辺についての関係式から「直角」など角度についての関係を引き出すには,「ピタゴラスの定理の逆」を前もって覚えておかなければできません.
=b+c → ∠A=90゜の直角三角形
(b=c,c=aについても同様)
=b+c かつ b=c → ∠A=90゜の直角二等辺三角形
 答案としては,単に「二等辺三角形」とするのではなく「∠A=∠Bの二等辺三角形」,単に「直角三角形」とするのではなく「∠A=90゜の直角三角形」と書くことが要求されるのが普通です. 

《問題》
 次の等式が成り立つとき,この△ABCはどんな形の三角形か 
1

sin2A=sin2B+sin2C

などを代入すると,
となり,
分母を払うと
=b+cとなります.
a=bの二等辺三角形, b=cの二等辺三角形, c=aの二等辺三角形, 正三角形, ∠A=90゜の直角三角形, ∠B=90゜の直角三角形, ∠C=90゜の直角三角形, ∠A=90゜の直角二等辺三角形, ∠B=90゜の直角二等辺三角形, ∠C=90゜の直角二等辺三角形, 上記のいずれでもない, (ヒントがほしい)
 c=2acos
a=bの二等辺三角形, b=cの二等辺三角形, c=aの二等辺三角形, 正三角形, ∠A=90゜の直角三角形, ∠B=90゜の直角三角形, ∠C=90゜の直角三角形, ∠A=90゜の直角二等辺三角形, ∠B=90゜の直角二等辺三角形, ∠C=90゜の直角二等辺三角形, 上記のいずれでもない, (ヒントがほしい)
 sinA=(b+c)(sinB-sinC)
a=bの二等辺三角形, b=cの二等辺三角形, c=aの二等辺三角形, 正三角形, ∠A=90゜の直角三角形, ∠B=90゜の直角三角形, ∠C=90゜の直角三角形, ∠A=90゜の直角二等辺三角形, ∠B=90゜の直角二等辺三角形, ∠C=90゜の直角二等辺三角形, 上記のいずれでもない, (ヒントがほしい)
 sinAcosB=sinBcosA
a=bの二等辺三角形, b=cの二等辺三角形, c=aの二等辺三角形, 正三角形, ∠A=90゜の直角三角形, ∠B=90゜の直角三角形, ∠C=90゜の直角三角形, ∠A=90゜の直角二等辺三角形, ∠B=90゜の直角二等辺三角形, ∠C=90゜の直角二等辺三角形, 上記のいずれでもない, (ヒントがほしい)
 cosBsinC=sinA
a=bの二等辺三角形, b=cの二等辺三角形, c=aの二等辺三角形, 正三角形, ∠A=90゜の直角三角形, ∠B=90゜の直角三角形, ∠C=90゜の直角三角形, ∠A=90゜の直角二等辺三角形, ∠B=90゜の直角二等辺三角形, ∠C=90゜の直角二等辺三角形, 上記のいずれでもない, (ヒントがほしい)


《解説》
□ 変形していくと,3次式,4次式,...となることがあります.このような場合,因数分解によって判断します.
 例
  (a−b)(a+b−c)=0となれば「a=bの二等辺三角形」又は「∠C=90゜の直角三角形」とします.
□ cosなどに上記の変形をそのまま代入すると,となって複雑になりすぎます.この場合,cosA=1−sinAとして,を用いることができます.


《問題つづき
sinAcosA+sinBcosB=sinCcosC
a=b又はb=cの二等辺三角形, b=c又はc=aの二等辺三角形, c=a又はa=bの二等辺三角形, 正三角形, ∠A=90゜又は∠B=90゜の直角三角形, ∠B=90゜又は∠C=90゜の直角三角形, ∠C=90゜又は∠A=90゜の直角三角形, ∠A=90゜又は∠B=90゜の直角二等辺三角形, ∠B=90゜又は∠C=90゜の直角二等辺三角形, ∠C=90゜又は∠A=90゜の直角二等辺三角形, 上記のいずれでもない, (ヒントがほしい)
◇7
 (b−c)cosA=bcosB−ccosC
などを代入して簡単にすると
(b−c)a=c−b
(b−c)(a−b−bc−c)=0
ゆえに,b=c又はa−b−bc−c=0
=b+bc+ccosA=-1/2を表わす
a=b又はb=cの二等辺三角形, b=c又はc=aの二等辺三角形, c=a又はa=bの二等辺三角形, 正三角形, ∠A=90゜又は∠B=90゜の直角三角形, ∠B=90゜又は∠C=90゜の直角三角形, ∠C=90゜又は∠A=90゜の直角三角形, ∠A=90゜又は∠B=90゜の直角二等辺三角形, ∠B=90゜又は∠C=90゜の直角二等辺三角形, ∠C=90゜又は∠A=90゜の直角二等辺三角形, 上記のいずれでもない, (ヒントがほしい)
◇8
 tanA:tanB=a:b
a=b又はb=cの二等辺三角形, b=c又はc=aの二等辺三角形, c=a又はa=bの二等辺三角形, 正三角形, ∠A=90゜又は∠B=90゜の直角三角形, ∠B=90゜又は∠C=90゜の直角三角形, ∠C=90゜又は∠A=90゜の直角三角形, ∠A=90゜又は∠B=90゜の直角二等辺三角形, ∠B=90゜又は∠C=90゜の直角二等辺三角形, ∠C=90゜又は∠A=90゜の直角二等辺三角形, 上記のいずれでもない, (ヒントがほしい)
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