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整式の割り算(文字係数)
 整式x−3x+a が (x−2) で割り切れるとき,a=[  ]である.
(2000年度徳島文理大学入試問題の引用)
《ノーヒントで解答を試みる》
a=


《ヒントを求む→》


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<ヒント>
(考え方1):素朴に割り算を行う

割り切れるのだから,a−4=0
a=4・・・(答)
(考え方2):恒等式として係数比較を行う
−3x+a=(x−2)(x+b)とおく
(右辺)=(x−4x+4)(x+b)=x+(b−4)x+(4−4b)x+4b
両辺の係数を比較すると
−3=b−4,0=4−4b,a=4b
a=4,(b=1)・・・(答)
(考え方3):因数定理を習っているとき−−因数定理の繰り返し適用
f(x)=x−3x+aとおく
因数定理によりf(2)=0だから,8−12+a=0
a=4 ・・・(必要)・・・まだ(x−2)で割り切れることを使ってないが,ここはあわてず,証明に切り替える.[穴埋め問題ならなくても可]
このとき,f(x)=x−3x+4=(x−2)(x−x−2)=(x−2)(x+1)は(x−2)で割り切れる.(十分)
a=4・・・(答)
(考え方4):微分を習っているとき−−「(x−a)で割り切れる←→f(a)=f’(a)=0」を使う.
f(x)=x−3x+aとおくと,f’(x)=3x−6x
f(2)=f’(2)=0より
8−12+a=0・・・(1)
12−12=0・・・(2):つねに成立
(1)(2)より,a=4・・・(答)

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