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反 例
《解説》

 「この部屋にいる生徒は,全員女子である」という命題が間違っていることを示すためには「この部屋にいるのは,全員男子である」ことを示す必要はなく,「男子が一人いる」ことを言えばよい.
 このように「全部が〜である」という判断が正しいのは,本当に「全部が〜である」ときだけで,1つでもそうでない例が見つかればこの命題は間違いであることになります.
■ 
 「p→q」 あるいは 「すべてのxについて(p(x)→q(x))」は,集合ではP⊂Qに対応しており,「Pに含まれるどの要素もQに含まれる」ことを主張しています.だから,Pのどの要素もQに含まれていればこの命題は真ですが,Pの要素のうち1つでもQに含まれないものがあれば,この命題は偽となります.
■ このように,p→qという命題が間違っていることを示すには,pであってqでない例を1つ示せばよいことになります.
 p→qという命題が間違っていることを示すような例を,p→qの反例といいます.(p→qが真なら反例はありません.)
 集合で言えば,P⊂Qの反例は,Pの要素であってQの要素でないものです.
 
《要点》
 命題 p→q が間違っているとき,これが間違っていることを証明するには,pであってqでない例を一つ示せばよい.このような例をp→qの反例といいます.


 P⊂Qが間違っていることを示すには,Pの要素であってQの要素でないものを示します.このような例をP⊂Qの反例といいます.

反例1つで成立しないことの証明になります.
例1
 x+y>0 → x>0かつy>0 の反例:x=2,y=−1
例2
 xが整数ならばxは整数 の反例:x=√2
例3
 ab=ac → b=c の反例:a=0,b=1,c=2


《問題》
 次の命題は偽の命題です.次のうちこの命題の反例として適当なものを選びなさい.
 

 x>1 ならば x>2
x=0.5   x=1.5   x=2.5

 x<1 ならば x<1
x=0.5   x=1.5   x=−2.5

 xが4の倍数でないなら,xは4の倍数でない
x=6   x=8   x=25

 x+y>4 ならば x>2かつy>2
x=0,y=3  x=1,y=1  x=5,y=1

 a>bならばa>b
a=2,b=1  a=0,b=1  a=−2,b=−1

《問題》
 次の命題が間違っていることを示す反例を1つ示しなさい.


  → 2<x
x=


 x>1 → x>1
x=


 x+y>2 → xy>1
x=,y=


 どんな自然数nについても,n−n+11は素数になる.
n=


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