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■漸近線の方程式
◇解説◇

 高校の微分積分で漸近線の問題が登場するのは,微分法の応用として,「増減,極値,凹凸,変曲点,漸近線の方程式を求めてグラフの概形を書け」という場面です。
 したがって,漸近線の方程式を単独で問うことはまれです。

 漸近線とは,一言で言えば「ある曲線が限りなく近づく相手方の線」のことですが,高校数学で漸近線と言えば「直線」に限ります(*)。したがって,高校数学の漸近線は

 (A)縦線:「x軸に垂直な直線 ( x=a の形のもの)」
 (B)斜め線:「y = ax + b の形のもの (a=0の場合[横線]を含む)」

の2種類だけです。
(*) 高校数学では,直線以外の漸近線は考えません。

例えば曲線y = x2 + は  x→±∞において y = x2 に限りなく近づきますが,高校では漸近線として y = x2 を求める必要はありません。この例では, 縦線:x = 0 だけが漸近線です。

◎(A)「縦」の漸近線の求め方
有限の値 a に対して,
f(x) = ∞ または −∞
f(x) = ∞ または −∞
となるとき(一方だけでもよい), x = a が漸近線です.
 この形の漸近線は,「分母が0となるxの値」を探せばほとんど見つかります。( y = tan x における x = のように「潜んでいるもの」もあります。)


y =

で分母が0となるxの値は 2, -4 です。
→「縦」の漸近線の方程式は x = 2 および x = -4 です。
(x = 1 , x = -3 は漸近線ではなく,x軸との交点です.)

(B)「斜め又は横」の漸近線
x → +∞ のとき y = ax + b が漸近線であるとは,
{f(x) -(ax + b)} = 0・・・(1)

となることです。この条件を満たすa, b の値は,2段階に分けて求められます.
(1)が成り立つならば当然

{ -a - } = 0 ・・・(2)は必要条件

したがって,
= a ・・・(2)’


その求めた a の値を用いて,
{f(x) - ax} = b ・・・(3)


x → -∞ のときも同様にして求めます.  |・・・(続き)・・・>
◎(B)「斜め又は横」の漸近線の求め方(まとめ)

1)   = a とする。(a = 0 のときはx軸平行)
この極限がなければ,x → ∞ のとき漸近線なし。

2)  1)の極限値が存在するとき,a の値を用いて,
{f(x) - ax} = b とする.

※ 横(x軸平行)の漸近線は,直ちに見つかることがあります。

例 y = e-x2のとき e-x2 = 0だから y = 0 は漸近線です.

上の議論で a = 0, b= 0 です。

※ (y = ±f(x) のように初めから曲線が2つあるような場合は論外として) 横の漸近線があれば斜めの漸近線はありません.


(例1)
y =
◇x軸に垂直な漸近線◇
 x = 0, 1 のとき分母が 0 となり,分子は0とならない.

  = ± ∞ = ± ∞ だから

 漸近線の方程式は x = 0, 1 ・・・ 答

◇x→±∞のときの漸近線◇
   = 1  だから,漸近線の方程式は y = 1 ・・・ 答
(例2)
y =
◇x軸に垂直な漸近線◇
 x = ± 1 のとき分母が 0 となり,分子は0とならない.

  = ± ∞ = ± ∞ だから

 漸近線の方程式は x = ± 1 ・・・ 答

◇x→±∞のときの漸近線◇

    = 2

   { - 2x} = =   = 0

 だから,漸近線の方程式は y = 2x ・・・ 答
(例3)
y =
◇x軸に垂直な漸近線◇
 x = 0 のとき指数の分母が 0 となり,

  = ∞ ・・・ ア

  = 0 ・・・ イ

 アより漸近線の方程式は x = 0 ・・・ 答  (イは漸近線とはならない)

◇x→±∞のときの漸近線◇

  = 1
 だから,漸近線の方程式は y = 1 ・・・ 答

■ 問題 次の曲線の漸近線の方程式を求めなさい。(なお,空欄にはスペースを使わずに半角の「アルファベット小文字または数字」だけを使用するものとします.)
問題 答案
(1)
y = x +
◇x軸に垂直な漸近線◇
 なし
◇x→±∞のときの漸近線◇
 だから,x → ∞ のとき,漸近線の方程式は y =  ・・・ 答

 次に,x → −∞ のとき,漸近線の方程式を求める.
 だから,x → -∞ のとき,漸近線の方程式は y =  ・・・ 答

(2)
y =
◇x軸に垂直な漸近線◇
 だから漸近線の方程式は x = - , x =  ・・・ 答
◇x→±∞のときの漸近線◇

 だから,漸近線の方程式は y =  ・・・ 答
(3)
y =
◇x軸に垂直な漸近線◇
だから,漸近線の方程式は x =  ・・・ 答

◇x→±∞のときの漸近線◇

だから,x → +∞ のとき,漸近線の方程式は,y =  ・・・答

次に,x → −∞ のとき,漸近線の方程式を求める.


だから,x → -∞ のとき,漸近線の方程式は,y =  ・・・答

(4)
y =
◇x軸に垂直な漸近線◇

だから,漸近線の方程式は x =  ・・・ 答

◇x→±∞のときの漸近線◇

だから,x → ±∞ のとき,漸近線の方程式は,y =  ・・・答

◇短縮答案◇

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