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■ 位置ベクトルの応用
◇公式の要約◇

2点A( ),B( )を結ぶベクトルは, = -

○補足説明

 記号 点A( ) は,関数の記号 f ( x ) とは無関係。
平面の座標を表わすときに,「点A その座標が(3,4)」というのを A(3,4) と書くのと同様にして,
「点A その位置ベクトルが  」というのを単に,点A( )と書く。

【注意】  = - ではない!
2点A( ),B( )の中点Mの位置ベクトル は,

=

○補足説明

2点A( ),B( )を結ぶABをm:nに内分する点Pの位置ベクトルは,

=

○補足説明

△ABCの頂点A,B,Cの位置ベクトルを各々 とすると,△ABCの重心Gの位置ベクトルは,

=

○補足説明



■ 問題 次の空欄を埋めなさい。
(1) △ABCの線分AB,BC,CAの中点を各々L,M,Nとする。△ABCの重心Gと△LMNの重心G’は一致することを証明しなさい。 (証明)
A,B,Cの位置ベクトルを各々 とおくと,重心Gの位置ベクトルは,

= ・・・(ア)

L,M,Nの位置ベクトルは各々だから,

重心G’の位置ベクトルは,


= = ・・・(イ)

(ア)(イ)よりG,G’の位置ベクトルが等しいからG,G’は一致する。
(2) △ABCの頂点A,B,Cの位置ベクトルを各々 とするとき,右の空欄を埋めなさい。
線分ABを2:1に内分する点をP,線分CAの中点をQとするとき,P,Qの位置ベクトルを, で表わすと

= =


で表わすと,

= - =


(3) △ABCと点Pについて

+ 2+ 3= 2

が成り立っているとき,点Pはどのような点か。
A,B,C,Pの位置ベクトルを各々 とおくと,

( - ) + 2( - ) + 3( - ) = 2( - ) より,

+ 2 + 3 - = 2 - 2

= となるから,PはACの
(4) △ABCと点Pについて

2+ 3+ 4=

が成り立っているとき,点Pはどのような点か。
A,B,C,Pの位置ベクトルを各々 とおく。

2( - )+ 3( - )+ 4( - )= より,

=



= と変形すると,

線分ABを に内分する点をDとするとき,
線分DCを に内分する点がPとなる。

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