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■定積分の置換積分法
◇解説◇
 定積分の置換積分では,

(1) 被積分関数
f(x)dx

(2) 積分変数
f(x)dx

(3) 積分区間
f(x)dx

の3箇所を書き換えます。
例1

(2x + 1)3 dx
2x + 1 = u とおくと

= 2 → dx =

x 0 → 1
u 1 → 3
(原式) = u3 = = - = = 10



※ ax + b = u とおくと,展開しなくてすむ
例2

1 - sin2 x = cos2 x だから,
cos x > 0 のとき, = cos x

そこで,


dx

→ x = sin u とおくと  cos u ... du の形になります.


dx

→ x = a sin u (a > 0) とおくと a cos u ... du の形になります.



■ 問題 次の空欄を埋めなさい。(なお,空欄にはスペースを使わずに半角の「アルファベット小文字または数字」だけを使用するものとします.)
問題 答案
(1)

(x + 2)2(x - 1)dx
◇考え方◇ x + 2 = u とおくと展開が簡単になります.
準備
計算
(原式) = - ・・・(答)

(2)

dx
◇考え方◇ 1 - x = u とおくと, になります.
準備
計算
(原式) = =


(3)




・・・[参考]・・・

◇考え方◇ x = 3 sin u とおくと, = = 3
= 3 |cos u| (cos u > 0 のときは 3 cos u)
準備

x = 3 sin u とおくと, = 3 cos u → dx = 3 cos u du
x  0 → 3
u  0 → 
計算
(原式) = =

(4)

dx

・・・[参考]・・・

準備
x = 3 sin u とおくと,
x  0 → 3
u  0 → 
  (この区間では cos u > 0)

= = 3 = 3 cos u

= 3 cos u → dx = 3 cos u du
計算
(原式) = =


(5)

2x(x2 + 1)3dx
準備
x2+ 1 = u とおくと,
= 2x → dx =
x  0 → 1
u  1 → 2
計算
(原式) = =

(6)

dx


・・・[別解]・・・
準備
ex+ 1 = u とおくと,
= ex → dx =

x  0 → 1
u  2 → e+1
計算
(原式) = = log


(7)

dx
◇考え方◇
 三角関数の公式:1 + tan2u =  を利用して, = cos2u の形にします.

準備
x = tan u とおくと,
= = cos2u

=   →  dx =

x  0 → 1
u  0 → 
計算
(原式) = =


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◇教材開発ノート◇・・・このページでは,各10行程度
の関数を用いて,Web上の数式を表現しています。