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■展開公式
■問題1
 次の式を展開せよ.
■問題2
 次の式を展開せよ.
■問題3
 次の式を展開せよ.
■解説
基本的な乗法公式(展開公式)
[I]  (a+b)2=a2+2ab+b2
[II]  (a - b)2=a2 - 2ab+b2
[III]  (a+b)(a - b)=a2 - b2
※ これらの公式のうち[I]〜[IV]は中学校の復習となっているが,高校の数学 I でもう一度出てくる.公式は中学校と同じでも,扱い方が少し変るところがある.例えば,これらの公式を使った置き換えによる展開,因数分解などは普通に出てくる.
(証明)
[I]← 
「総当たり」になるように掛けていき,同類項 ab , ba をまとめて,2ab にする.   ■続く→■
■→続き■
[II]←[I]
 「総当たりに」掛けていってもできるが,次のように[I]の公式を使って[II]を示すこともできる.
 (a - b)2=(a+(-b))2=a2+2a·(-b)+(-b)2=a2 - 2ab+b2
[III]
ab の項が,符号が逆のものと消し合うところがポイント
【この公式は重要】 anbn だけでできている式はめったにないので,無理数の分母の有理化などにおいてこの式が重要になる.
雑種を含む
純系のみ
a2+ab+b2
a2+2ab+b2
a2- ab+b2
a2- 2ab
+b2

(+)2
=5+2+3 =8+2
比較
a2 - b2




(+)( - )
=5 - 3 =2
[IV]  (x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab
[V]  (ax+b)(cx+d)=acx2+(ad+bc)x+bd
[IV]
証明は展開すれば分かるので省略.ここでは次の点に注意したい.

(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab
例えば (x+5)(x+3)=x2+8x+15 などとする.
また,(x+5a)(x+3a)=x2+8ax+15a2 などとする.
さらに,(x+a+3)(x+a+2)=x2+(2a+5)x+(a2+5a+6) などとする.
[V]
 この公式は「総当たりで全部掛ける」というのとあまり変らない.
 丸暗記しても,逆計算の因数分解ができるわけではない.あまりうれしくない公式.
[VI]  (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3
[VII]  (a - b)3=a3 - 3a2b+3ab2 - b3
[VIII] (a+b)(a2 - ab+b2)=a3+b3
[IX]  (a - b)(a2+ab+b2)=a3 - b3
[VI]
(a+b)3=(a+b)(a+b)2
=(a+b)(a2+2ab+b2)
=a3+2a2b+ab2
____+a2b+2ab2+b3
=a3+3a2b+3ab2+b3

※ この係数 1 , 3 , 3 , 1 は右のような「パスカルの数三角形」で求められる.
[VII]←[VI]
(a+( - b))3=a3+3a2(- b)+3a( - b)2+( - b)3
(- b) が奇数回掛けられているところは符号がマイナスになることに注意すると
これは,a3 - 3a2b+3ab2 - b3 に等しい.  ■続く→■
[VIII] [IX]
【この公式は重要】 anbn だけでできている式はめったにない.
雑種を含む
純系のみ
a3+a2b+ab2+b3
a3+2a2b+2ab2+b3
a3+3a2b+3ab2+b3
a3 - a2b - ab2+b3
a3 - 2a2b - 2ab2+b3
a3 - 3a2b - 3ab2+b3

比較
a3+b3

a3 - b3



※ a+ba3+b3 の符号が同じ,a - ba3 - b3 の符号が同じ.
(「1次と2次は仲が悪い,1次と3次は仲がよい」「プラスとマイナスの積になっているときだけ雑種の項が消える.」など適当にこじつけて覚えておく.)
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