×

[PR]この広告は3ヶ月以上更新がないため表示されています。
ホームページを更新後24時間以内に表示されなくなります。

■根号の計算
問題1 次の空欄を埋めよ.
問題2 次の式を簡単にせよ.
■解説
 根号の計算は中学校3年で習うが,高校の数学 I でもう一度復習するようになっている.

a , b , n>0 のとき,
= ···( I )

= ···( II )

特に,=n ···( * )
(証明)
 証明は,根号記号の定義にさかのぼって行う:
a , x>0 のとき x2=ax= と書く.
( I ) [←]  ( )2=ab だから =

( II ) [←]  ()2= だから =

 ( I ) =

 ( II )  =

 ( * ) ( I ) を用いて,  → 外で1個 にする.
    = =n


    = =2
    = =4
    = =4

○  は,異なる文字 xy のように扱う.
  • (5x+4y) - (3x+y)=2x+3y と同様にして
    (5+4) - (3+)=2+3
    ※ これ以上簡単にならない

  • (x+y)2=x2+2xy+y2 と同様にして
    (+)2=2+2+2=5+2

  • しかし, のように,変形すれば根号内が同じ数になるときは,「同類項」のようにまとめなければならない.
    +=2+=3

  • 4+3=7
    4+2+2 - +3+5=3+5+7
    4+3 (※ これ以上簡単にならない)
    - 2 (※ これ以上簡単にならない)

  • +=2+3=5
■文字式の2乗を含む根号
 以下は,受験向きの内容.教科書ではあまり扱われていない.(やや難しい)

文字式の2乗を含む根号
 =|a| … [ I ]

すなわち, = - a ( a<0 のとき)
        =a  ( a0 のとき) … [ II ]
(解説)
   ==3 であるが
   ==3 となる.
一般に, =a とは限らず,
  a0 ならば  =a
  a<0 ならば  = - a となる.
a<0 のとき,記号が - a でも,値は - ( - 3)=3 のように正になることに注意)
これらは,
   =|a| とまとめることができる.(ただし,これはまとめるための記号なので,[ II ]のように場合分けして答えることが多い.)

+ を簡単にせよ.
a<1 , a1 に分けて考える.
a< - 1 , a - 1 に分けて考える.
全体を扱うには,a< - 1 , - 1a<1 , 1a に分けて考える.
ア) a< - 1 のとき, = - a+1 , = - a - 1
 だから (原式)= -a+1 - a - 1= - 2a

イ) - 1a<1 のとき, = - a+1 , =a+1
 だから (原式)= -a+1+a+1=2

ウ) a1 のとき, =a - 1 , =a+1
 だから (原式)=a - 1+a+1=2a
問題3  x が実数値をとって変化するとき, + の最小値を求めよ.
(答案)
ア) x< - のとき,
= - 2x+1 , = - 2x - 1
 だから (原式)= - 2x+1 - 2x - 1= - 4x (減少する)

イ) - x< のとき,
= - 2x+1 , =2x+1
 だから (原式)= - 2x+1+2x+1=2

ウ) x のとき,
=2x - 1 , =2x+1
 だから (原式)=2x - 1+2x+1=4x (増加)

以上により,- x のとき,最小値 をとる.
問題4  x= のとき,a で表せ.
(答案)
===

==

○==メニューに戻る