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■ 関数の連続,極限関数
◇解説◇
 関数のグラフが視覚的には「つながっていて,切れ目がない」ときに,連続であるといいます。
 これを数式を用いて調べるには,次の定義によります。

◇連続の定義◇
(*1) 次の関係が成り立つとき,関数 f(x)x = a において連続であるといいます。(連続でないとき,不連続であるといいます。)
f(a) = f(x) ・・・ (1)


(*2) 詳しくいえば,
関数値 f(a) が存在し,・・・ (2)
極限値 f(x) が存在し,・・・ (3)

それらが一致するとき,・・・→(1) 連続であるといいます。
 例えば,関数 f(x) = は, x = 0 において,
下図右側のようになり,関数値の存在(2)という条件を満たしていません。 (これだけで不連続がいえますが,さらに,極限値の存在(3)という条件も満たしていません。 x → 0 のとき「極限」は存在しますが,∞は有限確定の値でないので,正確には「極限値」とはいえません。下の図で「無限遠点でつながっている」とは考えません。)
関数 f(x) = x = 0 のとき不連続ですが
関数
 g(x) = x = 0 のとき不連続です。

(*3) さらに詳しくいえば,
 xa よりも大きな値をとりながら a に近づくときの極限値(右極限値)と,xa よりも小さな値をとりながら a に近づくときの極限値(左極限値)とが異なる場合,極限値は存在しないといいます。(どんな近づき方をしても1つの有限確定の値に近づくときに,その値を極限値とします。)

上の図は,関数 f(x) = {   (x ≠ 0 のとき)

0  (x = 0 のとき)
のグラフです。
右極限値は f(x) = = 1

左極限値は f(x) = = - 1

これらが一致しないので,x → 0 のとき極限値は存在せず,不連続です。

以上のまとめ

1.[簡単な方]
 関数 y = f(x)x = a における連続性を調べるには,
関数値 f(a) が存在し,・・・ (2)
極限値 f(x) が存在し,・・・ (3)

それらが一致するかどうかで判断します。


2.[詳しい方]
極限値の存在が微妙な判断となるときは(3)を分けて考え
右極限値 f(x) が存在し,・・・ (3-1)

左極限値 f(x) が存在し,・・・ (3-2)

それらが一致するとき : f(x) = f(x)・・・ (3)

その値を極限値 f(x) とします。


◇次の勝ち抜き戦で1つでも負けたらダメということです◇

■例題
(1)
関数 f(x) = {   (x ≠ 0 のとき)
 0   (x = 0 のとき)
x = 0 における連続性を調べなさい。

(答案)
= = x = 0

= = (-x) = 0

だから f(x) = 0
また,f(0) = 0
f(x) = f(0) が成り立つから x = 0 で連続
※ 極限を用いて定義される関数を「極限関数」といいます。
以下の問題において,必要ならば次の性質を用いて,答えなさい。
(*1)  x > 1 のとき xn = ∞
(*2)  x = 1 のとき xn = 1
(*3)  -1 < x < 1 のとき xn = 0
(*4)  x = - 1 のとき xn は 存在しない(±1を振動)
(*5)  x < - 1 のとき xn は 存在しない(±∞を振動)
(2)
f(x) = で定義される関数について
x = 1 における連続性を調べなさい。
(答案)
1) x > 1 のとき xn = ∞ だから

 f(x) = = = 1

 よって f(x) = 1(定数値をとる関数の極限値はその定数値)

2) -1 < x < 1 のとき xn = 0 だから

 f(x) = = - 1

 よって f(x) = - 1(定数値をとる関数の極限値はその定数値)
1)2)より,極限値 f(x) が存在しないから,x = 1 のとき不連続

■問題 (各5分程度が目安)
問題 答案 (なお,「 ∞ 」という記号は「mugen」で漢字変換すれば出るようです。)
(1)
実数 x に対して, x を超えない最大の整数を [ x ] で表わす.このとき,

= □   = □

(日本大−文理学部 (2000年) 入試問題の引用)

1 2
3 < x < 4 のとき, = =

x < 3 のとき, = =
(2)
f(x) = {   (x ≠ 0 のとき)
1  (x = 0 のとき)
の連続性を調べなさい。
1 2 3
x ≠ 0 のとき,連続は明らか。
x = 0 のときの極限値を調べる.
  = -∞ だから f(x) = =

  = ∞ だから f(x) = =

他の点では連続

(3)
f(x) = で定義される
関数について x = 1 における連続性を調べなさい。
1 2 3 4
1) x > 1 のとき f(x) =

2) -1 < x < 1 のとき f(x) =

3) x = 1 のとき f(1) = =

(4)
f(x) = で定義される関数
について x = - 1 における連続性を調べなさい。
1 2
※ x < 0 のとき xn の符号は定まりませんが,x2n は正の数,x2n+1 は負の数になります。
1) - 1 < x < 0 のとき f(x) =

2) x < - 1 のとき f(x) =

x = - 1 のとき,左右の極限値が一致しないから,極限値が存在せず、不連続

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