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■順列
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問題
■解説
 異なる n 個のものから,異なる r 個を取ってできる順列の総数は
______nPr=n(n - 1)(n - 2) ··· (n - r+1)  …(1)
______nPr=  …(2)
(ただし,0rn

※ 実際の計算は(1)でやればよい.
(簡単な例)
 3個のもの { a , b , c } から2個取って並べると,
ab , ac
ba , bc
ca , cb
の6通りの並べ方がある.
 これを,3個から2個取って並べる順列の総数として 3P2 で表わす.

[考え方]
 右図のように3つの候補者から選んで,左右2つの箱に並べるとき,
 左の箱の入れ方は { a , b , c }のどれでもよいから3通り
 その各々について,(同じものは右の箱に使えないから)右の箱の入れ方は(残りの)2通り.
 積の法則によって 2×3=6通り
 3P2=6 になる.


例題1 次の値を求めよ.
___(1) 4P2=4·3=12________(2) 3P3=3·2·1=6

例題2 5 個の数字 1 , 2 , 3 , 4 , 5 から2つ使ってできる2桁の整数は何個あるか.ただし,同じ数字は使わないものとする.
________5×4=20
※(参考)
 教科書には余計なことはほとんど書かれていないが,理屈の上では余計なことでも,生徒が実際に行き詰まる箇所で,言われればストーンと納得することもある.
⇒ 上の解説では,左の箱から先に入れているが,実は右の箱から入れてもよい.
 その場合,右の箱の入れ方が3通り,その各々について左の箱の入れ方が2通りになるから,2×3=6通り

⇒ このように「どこから入れてもよい」ということから,「条件の難しい所を先に入れる」と便利だということが分かる.


例題3 5 個の数字 1 , 2 , 3 , 4 , 5 から3つ使ってできる3桁の奇数は何個あるか.ただし,同じ数字は使わないものとする.
________右図のように,1の位,百の位,十の位の順に入れると
________奇数になるには1の位の数は 1 , 3, 5 のどれかで3通り
________その各々について,百の位の入れ方は(残りの)4通り
________その各々について,十の位の入れ方は(残りの)3通り
結局,3×4×3=36個

(n個からr個取って来るとき)
 右図のようにn個の候補者から1つ取ってきて,左から1番目の箱に入れる方法は n 通り
 その各々について,左から2番目の箱に入れる方法はn - 1通り
(1度使ったものはもう使えないから,k番目の箱に入れることができるのは n - (k - 1)=n - k+1 通り)
 積の法則により,nから順に1つずつ少ないr個の整数を掛けたものになるから,n(n - 1)(n - 2)・・・(n - r+1) 通り
 ゆえに,nPr=n(n - 1)(n - 2) ··· (n - r+1)


  • 5P3=5·4·3=60
  • 7P2=7·6=42
  • 異なる4個のものから異なる3個のものを取って並べる順列の総数は 4P3=4·3·2=24 通り
[用語]
○  「異なる n 個のものから」 ・・・ この公式の前提として n 個のものがすべて異なる場合を考えている.
当てはまる例
 a , b , c の3つのものから2つ取ってきて1列に並べる.
 例えば ab , ac , ba , bc , ca , cb
当てはまらない例
 a が2個,b が1個,合計3個あるものを並べる.(同じ a が2個ある
 例えば aab , aba , baa
⇒ 左の公式が使える ⇒ 左の公式は使えない(同じものがあるときは別の公式になる)

○ 「異なる r 個を取って」 ・・・ この公式の前提として同じものを取ってきてはいけない.
当てはまる例
 a , b , c の3つのものから2つ取ってきて1列に並べる.
 例えば ab , ac , ba , bc , ca , cb
当てはまらない例
 a , b , c の3つのものから2つ取ってきて1列に並べる.
 例えば aa , ab , ba , bb , bc , ca , cb , cc
⇒ 左の公式が使える ⇒ 左の公式は使えない(同じものを何回使ってよいときは別の公式になる)

○ 「取って」 ・・・ 取ったものを捨てるのではなく,「取って来たものを使うとき」という意味.(日常会話では,正反対のどちらの意味にも使われるようなので注意)
 例えば,5個のもの { a , b , c , d , e } から{ a , b } の2個を取ったら,{ c , d , e } の3個になると言う意味でなく,その{ a , b } を並べると並べたものは ab , ba になる.

○ 「順列」 ・・・ 順列が nPr なのではない.
 例えば,3個のもの { a , b , c } から2個取ってできる順列では,
ab は1つの順列, ac は1つの順列,
ba は1つの順列, bc は1つの順列,
ca は1つの順列, cb は1つの順列,
その「順列の総数」が 3P2=6 通りあるということ.
 つまり,この公式は順列を求める公式ではなく,順列の総数だけを求める公式になっている.

○ nPr の読み方 ・・・ 決まっていない.
 P は英語で順列を表わす permutation の頭文字であるが,この記号 nPr について「正しい」読み方というものがある訳ではない.
 昔ある教科書会社が,各々の数学記号の読み方について全国の高校数学教員からアンケート調査して人気ランキング風にまとめたことがある.その程度の話だと考えるとよい.
 しかし,まったく何でもよいのではなく,よく使われる言い方のうちどれかにするとよい.
 この記号なら,「エヌ,ピー,アール」と素読みにするか,「ピーのエヌ,アール」という形で順列ということを初めにはっきりいう読み方が多いと思う.手元の数学事典(大阪書籍1979年版)では「パーミュテイション nr」と書かれている.
(英語では the permutation of r from n など n が最後に来る読み方も考えられる.)
[階乗記号を用いた表し方]
 上で示したように,順列を計算するとき前で使ったものは次に使えないから,
 n×n×n×・・・ の形のかけ算にはならずに
 n×(n-1)×(n-2)×・・・ の形のかけ算がしばしば登場する(階段状に減って行くかけ算).
 そこで,これらを表わす階乗記号 ! が定義されている.

[階乗記号]
 正の整数 n について,次のように定義する 
n!=n(n - 1)(n - 2) ··· 2·1
 ただし,後で登場する様々な公式を便利に使えるように,例外的に 0! も定義しておく
0!=1
(※ 負の数や小数に対して階乗は定義されない.)
(※ 0! は定義(約束)なので,n! のルールから推測できるものではない.つまり,0!0 ではない.)
  • 4!=4·3·2·1=24
  • 5!=5·4·3·2·1=120
  • 6!=6·5·4·3·2·1=720
n! の読み方]
 エヌ階乗,エヌの階乗,エヌ・ファクトリアルなど

[実際にある間違い]
 (5 - 2)! のような計算は,3! に直して行うことはできるが,5! - 2! にはならない.(この括弧ははずせないので注意)
3!=6 であるが
5! - 2!=120 - 2=118 (全然違う値になる)
○ 順列の公式を階乗記号で表わすには

 階乗記号は1までの整数を全部連ねたものとして定義されている.
 右図のように「5両連結の列車」の前に「3両連結の列車」を置くと,前の2両(5と4)が見える.

5P2=5·4=

 nから順に小さくなるr個の整数の積では
 後にあるn−r個を取り除けば前にr個残る.また,nから数えてr番目に小さな整数はn-r+1だから
nPr=n(n - 1)(n - 2) ··· (n - r+1)=
  • 7P3===7·6·5=210

  • 5P5===5·4·3·2·1=120

※ 最後の例で,分母に 0! が形式的登場するときにも結果が正しくなるようにするためには,0!=1 とすればよい.このように順列・組合せの公式を自由に使えるようにするために 0! を定義していると考えるとよい.
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