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■ 行列のn乗
◇解説◇
 正方行列(2×2行列,3×3行列,・・・)については行列のn乗が定義できますが,一般にはその成分計算は大変です.ここでは,2×2行列についてn乗が計算できる場合を取り扱います.
(1) 
与えられた行列 A に対して,
P-1AP =
となる行列 P が見つかるときは,

P-1AnP =  を利用して,
An を求めることができます.

PAP-1 =  のときも同様です. ・・・ [ 説明 ]
(2) 
与えられた行列 A が,原点の周りの回転を表わす行列


に等しいときは,その n 乗は角度 θn 倍したものだから


さらに,回転・拡大となっているときも同様にして

A = r ならば

An = rn
(3) 
A2A3A4 程度の簡単な計算をしてみて, 0, kEkA などが登場すれば,その規則性を考えて An が求められます.
(4)
 ケイリー・ハミルトンの定理を変形すると, A2 = (a + d)A -(ad - bc)E となり,この関係を繰り返し適用すると,次数を下げることができます.
例 A2 = A + E ならば A3 = A2 + A = 2A + E

 もっと一般的に,整式の割り算を用いて,次数を下げてから値を代入することができますが,高校では行列の割り算を取り扱わないので,答案にはかけ算で表わした結果のみを残す方がよいでしょう.

例 A = のとき,A2 - A - E = 0 を利用すると

A4 - 2A3 + A2 + A = (A2 - A - E)(A2 - A + E) + A + E = A + E

=  

■例題
(1)
A = S = とするとき S-1AS = [ ウ ] であり,これを用いて行列 An (n = 1, 2, 3, …) を求めると An = [ エ ] である.

( 福岡大−理・工(2005年)入試問題の一部引用 )

(答案)
S-1 = だから

S-1AS =

= = =


(S-1AS)n = S-1AnS =

An= ×

= =
(2)(3)

行列 A = について

A2 = [ ア ], A3 = [ イ ] である.また,
E + A + A2 + … + An = 0 となる 100 以下の自然数 n のうちで最小のものは[ ウ ]であり,最大のものは[ エ ]である.ただし,

E は単位行列,0 = とする.

( 関西学院大−理工(2005年)入試問題の一部引用 )

(答案)
A = だから


A2 = =


A3 = =

E + A + A2 = 0 … 最小値2
E + A + A2+ … + A98 = 0 … 最大値98

■問題 (各5分程度が目安)
問題 答案
1.
3つの行列 A, P, B を次のようにおく.

A = ,P =
B = P-1AP_
このとき,次の問いに答よ.
(1) P の逆行列 P-1 および B を求めよ.
(2) Bn, An (n = 1, 2, 3, …) を求めよ.

(岩手大−工学部 (2000年) 入試問題の一部引用)

1 2 3
(1)   P-1 =

B = P-1AP = =

(2)  Bn =

(P-1AP)n =  だから  P-1AnP =

An = =  

2.
ac ≠ b2 とし,行列

A = , B =

P = P の逆行列 P-1 を考える.
(1) P-1AP = B を満たす a, b, c のうちで,正の整数であって最小なものを求めよ.
(2) 正の整数 n に対して,BnAn を求めよ.

(室蘭工大 (2000年後期) 入試問題の引用)

1 2
(1) a = 3, b = c =

(2) Bn =

=

3.
A = のとき,A20 を求めなさい.
1 2

A20 = =


4.
A = のとき,A100 を求めなさい.
1 2



したがって A100 = =

5.
A = のとき,
A4 - 29A2 + A + 3E を求めなさい.
1 2
A4 - 29A2 + A + 3E
=

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