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■ 極限値,不定形の極限
◇解説◇
【関数の極限値】
  関数 f(x) において,xa と異なる値をとりながら限りなく a に近づくとき,f(x) が 一定の値 b に限りなく近づく場合,
f(x) = b

と書き,x が a に限りなく近づくときの f(x) の極限値は b であるといいます。


 xa よりも大きな値をとりながら a に近づくときと,a よりも小さな値をとりながら a に近づくのを区別するときは,
各々f(x),  f(x) で表わします。左右どちらから近づくかを決めないとき,f(x) で表わします。

 特に,x0 よりも大きな値をとりながら,0 に近づくときは f(x), 0 よりも小さな値をとりながら,0 に近づくときはf(x)で表わします。
【簡単な極限値】
○ 多項式(整関数)の極限値は,関数値(単に値を代入したもの)と等しくなります。
(2x + 1) = 3

(3x2 + 1) = 4

○ 右の図は y = のグラフです。この図から,次のことが分かります。
  = ∞

  = −∞
 単に x → 0 のときは,
 +∞,-∞ が定まりませんので,
 次のように書きます。

  = ±∞ (「なし」も可)

  = 0

   = 0

○ これらから,次の極限値は直ちに求まります。

  = −∞

  = −∞

  = 0

   = 0


■問題 次の極限値を求めなさい。
(1)
(x + 2) =
(2)
=
(3)
=
(4)
   =
(5)
  =
(6)
   =

◇解説◇
◇不定形の極限◇

 不定形の極限という用語は,高校の数IIの教科書では使われていませんが,授業,問題集,参考書ではよく使われます。不定形の極限について重要なことは、極限が不定なのではなくて、見かけだけが不定だと言うことです。
 数IIで登場する不定形の極限は,分母と分子の両方が 0 に近づく場合,すなわち「見かけ上」  になっているものを言います。(数IIIでは,他にも∞-∞など多くの型が登場しますが,数IIでは,  だけです。)

 不定形の極限を求めるには,分母,分子が 0 になる原因を「約分によって」取り除いてから,計算します。


  • 「分子→0以外,分母→0以外」の分数の極限は,普通の分数です。

     例  =

  • 「分子→0,分母→0以外」の分数の極限は,単に0です。(これは不定形とは言いません。)

     例  = 0

  • 「分子→0以外,分母→0」の分数の極限は,単に∞(または−∞)です。(これは不定形とは言いません。)

     例  = ±∞

    (「なし」と書くこともあるが,正負は決まらなくても絶対値が無限になることを示すと,後の応用に役立つことが多い。)

  • 次の式のように「分子,分母の両方とも→0」の形をしているものを「不定形の極限」といいます。

     例 

○ 分母→0,分子→0という形の「不定形の極限」では,分母と分子を因数分解して,両方が0になるという原因を,「約分」によって取り除いてから,極限値を求めます。

  •  例1  = = (2x + 1) = 1

  •  例2  = = ±∞

  •  例3  = 4x = 0

  •  例4  = = (x + 1) = 2
※ 例1で x で約分できるのは,「 x が 0 でない値をとりながら限りなく 0 に近づく」ので, x ≠ 0 だからです。

 また,2x + 1 = 1 となるのではありません
 = という記号を使っていますが,2x + 1 が 1 になるのでなく,2x + 1 の極限値が 1 になるということです。

※ 極限値と関数値の違いは,主に数IIIで扱いますので,数IIで深入りするのは得策ではありません。
○ 次のような式では,極限の計算をするときに,lim の下の→の前に書かれた文字だけが変数で,他の文字は定数と見なします。
  •  例 f’(a) = = = 2(x + a) = 4a

  •  例 f’(a) = = = (4a + 2h) = 4a

■問題 次の極限値を求めなさい。
問題 答案
(1)

=
(2)

=
(3)

=
(4)
( - 1)

=
(5)

=
(6)

=
(7)

=
(8)

=

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