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■ 関数の極限1
○ いわゆる「不定形の極限」とは,式が見かけ上,
∞-∞,,0×∞,

のように相反する向きに引っ張り合っているような場合をいい,結果が不定になるということではありません。
  
→→ 不定形の極限では,式を変形して強弱が分かる形に直してから極限を求めます。

○ これに対して,式が見かけ上,
∞+∞,∞×∞,

のように大きくなるものばかりのときや,
0×0,

のように小さくなるものばかりの組合せのときは不定形とはいいません。
  →→ そのままの形で直ちに極限が求まります。
■ 不定形の例
 ・・・ 形になっているので変形しないと判断できない。

 ・・・  形になっているので,変形しないと判断できない。

( - )  ・・・ ∞ - ∞形になっているので,変形しないと判断できない。

■ 不定形ではないもの
(x2 + x) ・・・ ∞+∞形だから,そのままの形で∞と分かる。

( + ) ・・・ ∞(∞+∞)形だから,そのままの形で∞と分かる。

( - ) ・・・ 0−0形だから,そのままの形で0と分かる。

■即答問題 次のうち,いわゆる「不定形の極限」となっているものを選びなさい。
( - x)    


( - x)  (2x + 1)   x(+)




■問題1
 次の空欄を埋めなさい。
(1)
=
(2)
=
(3)
=
(参考)
  の形の極限は,分母と分子の次数で決まり,

  ア) 分母の次数 > 分子の次数 ならば 0
  イ) 分母の次数 < 分子の次数 ならば (符号に応じて)+∞または-∞
  ウ) 分母の次数 = 分子の次数 ならば 最高次の項の係数の比


となります.

(考え方)
ア) 

のように分母の次数が高いときは,約分すると分母だけに x が残り,分母→∞で,結果は0となります.

   = = 0

イ) 

のように分子の次数が高いときは,約分すると分子だけに x が残ります.この場合,係数の符号に応じて±∞のいずれかになります.

   = (2x2) = ∞

   = (- 3x2) = - ∞

ウ) 

のように分母分子の次数が等しいときは,約分で係数だけが残りますので,係数の比になります.

   =   (・・・右に続く・・・)
(・・・続き・・・)
 

のように,分母分子が多項式になっているときは,「各々の最大項でくくる」と,左の考え方に帰着できます.

ア) 


= ==0




イ) 


= ==




ウ) 


= ==2




  ※ 上の式で,( )内は1になります.
以上により,(参考)の初めに青字でまとめたア)〜ウ)がいえます.これらを用いて以下のような問題を解くことができます.
(4)
  =
(5)
=
(6)
=

■問題2
 次の空欄を埋めなさい。
例 1

( - x )

=

=

=

= = 1


【要点】 無理関数の極限 → 「分子」の有理化も考える
問1

( - )

= ()

=

=


例 2

 ( + x )

= ( - s )

=

=

= 0
(∵分子→2,分母→∞)

【要点】 x→ - ∞ のとき「x = -s とおくと s → ∞」
問 2
( + x )

= ( - s )

=

=

=

=


例 3



=

= ( + 1)

= 2


【要点】 分母が見かけ上0となるとき → 「約分によって,0となる原因を取り除く」
問 3


=

=

= ( + + 1)

=

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