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■解と係数の関係 (高校数学 II )
○ 2次方程式の解と係数の関係
 2次方程式 ax2+bx+c=0 ( a0 ) の2つの解を α,β とすると,
α+β= -

αβ=
が成り立つ.
[ 証明を見る ]

(この定理は何の役に立つのか)
例1 3x2+5x+1=0 の2つの解を α,β とするとき,α+β,αβ の値を求めたいとき

α,β= だから

α+β=+= -

αβ=×==
が成り立つ.
 しかし,問題を見ただけでこの答は - , だと分かる.
(※問題4以外は「やり直す」で限りなく問題が変ります.)
■ 問題1
 次の空欄を埋めよ.なお,答が負の分数になるときは,分子を負の数にして答えよ.
  
■ 問題2
 次の空欄を埋めよ.
  
■ 問題3
 次の空欄を埋めよ.
  
○ 解の公式を用いた因数分解
 2次方程式 ax2+bx+c=0 ( a0 ) の2つの解を α,β とすると,
ax2+bx+c=a(x - α)(x - β)
が成り立つ.
※ 「2次方程式の解の公式」により,どんな2次方程式でも解を求めることができるので,さらにこの公式を用いれば,どんな2次式でも因数分解できる.
 ただし,「2次方程式の解の公式」からは,無理数解や虚数解が出る場合もあるので,「複素数の係数まで使えば,どんな2次式でも因数分解できる」という意味になる.
例題
 次の式を複素数の範囲で因数分解せよ.
 x2+x+1
(答案)
x2+x+1=0 の解を求めると x= になるから,これらを α,β として因数分解の公式に代入すると

x2+x+1=(x - )(x - )

=(x+ )(x+)
(証明について)
 教科書においては通常,解と係数の関係を用いてこの因数分解公式が示される.
 このページの別添証明のように,この因数分解公式を用いて解と係数の関係を示すときは,循環論法にならないように気をつけて,因数分解公式を先に示すべきであるが,教材の並べ方については通常の教科書の順に従った.(つまり,別添証明で証明済みである.)

■因数分解に用いる係数の範囲■
 「 x4 - 4 を因数分解せよ.」というような問題では係数にどの範囲の数まで用いるかによって,次の(ア)(イ)(ウ)の3通りの因数分解が考えられる.
(ア) x4 - 4=(x2 - 2)(x2+2)
(イ) x4 - 4=(x - )(x+)(x2+2)
(ウ) x4 - 4=(x - )(x+)(x - i)(x+i)
(ア)のように,係数に有理数の範囲の数まで用いて因数分解することを「有理数の範囲で因数分解する」という.同様にして,(イ)のように係数に実数の範囲の数まで用いて因数分解することを「実数の範囲で因数分解する」といい,(ウ)のように係数に複素数の範囲の数まで用いて因数分解することを「複素数の範囲で因数分解する」という.
○ 複素数の範囲で因数分解すれば,整式は1次式の積に書ける.
○ 何も断りがないときは,有理数の範囲で因数分解すればよい.
  通常は,「 x3 - 1 を因数分解せよ.」というような問題では,
x3 - 1=(x - 1)(x2+x+1) でよく,
x3 - 1=(x - 1)(x+ )(x+) までは求められない.
○ 有理数の範囲ですでに1次式に因数分解されているものは,実数の範囲に広げても結果は同じである.実数の範囲を複素数の範囲に広げるときも同様.
■ 問題4
(1) x4 - x2 - 2 を実数の範囲で因数分解したものを右から選べ.
ア (x2+1)(x2 - 2)
イ (x2+1)(x - )(x+)
ウ (x - i)(x+i)(x - )(x+)
(2) x4+2x3 - 3x2 - 2x+2 を有理数の範囲で因数分解したものを右から選べ.
ア (x2+2x - 2)(x2 - 1)
イ (x2+2x - 2)(x+1)(x - 1)
ウ (x+1+)(x+1 - )(x+1)(x - 1)
(3) x4 - 9 を複素数の範囲で因数分解したものを右から選べ.
ア (x2+3)(x2 - 3)
イ (x2+3)(x+)(x - )
ウ (x+i)(x - i)(x+)(x - )
○ 2数を解とする2次方程式の作成
 2つの解 α,β が与えられているとき,これらが解となる1つの2次方程式は
x2 - (α+β)x+αβ=0

α= , β= を解とする2次方程式を求めと
α+β=1 , αβ= より, x2 - x+=0 が1つの2次方程式であるが,両辺に9をかけて,
9x2 - 9x+2=0 とするのが普通である.

一般に,2次方程式の両辺を定数倍しても解は変らないから,
x2 - (α+β)x+αβ=0 としてもよく
a(x - α)(x - β)=0 としてもよい
定数 a の分は x2 の係数などが指定されれば決まるが,そうでなければただ1つに定まらない.
■ 問題5
 
  [採点する] [やり直す] [次の問題]
  
例題
 2x2+5x+1=0 の2つの解を α,β とするとき,2数 2α,2β を解とする2次方程式を求めよ.
(答案)(定数倍を除いて決まる)
 2x2+5x+1=0 の解と係数の関係から
α+β= - , αβ=
これにより,求める方程式の2つの解 2α,2β については
2α+2β= - 5 , 2α·2β=2 が成り立つから
求める方程式は x2+5x+2=0 …(答)

※ 与えられた方程式についての「解と係数の関係」から,求める方程式の「解と係数の関係」を求める.
■ 問題6
 
  [採点する] [やり直す] [次の問題]
  

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