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■ 不定積分の置換積分
◇はじめに◇ 元の問題のままでは積分計算が困難に見える場合でも,変数を置き換えて関数形を変えると,簡単に積分計算ができることがあります。 変数の置き換えで積分を求める方法が置換積分です。
 ■ 次の空欄を埋めなさい。ただし,スペースキーを使わず,sin x などは詰めて sinx と書きなさい。また,数字は半角文字で,英字は半角小文字で書きなさい。
 ※ なお,このページに使用しているフォントで t は,pqrst の t , x は xyz の xです。
(例題1)

(2x + 1)3dx
(答案)
2x + 1 = t とおくと, = 2dx =

(原式) = t3 = + C = + C  ・・・ 答
(問題1-1)

(3x - 2)4dx
(答案)
= t とおくと, = 3dx =


(原式) = t4 = + C = + C  ・・・ 答


(問題1-2)

(答案)
= t とおくと, = 2dx =


(原式) = t-2 = + C = - + C  ・・・ 答
◎一般に a ≠ 0 のとき,次の公式が成り立ちます。
(ax + b)ndx = + C dx = dx = + C

sin(ax)dx = - cos(ax) + C sin(ax + b)dx = - cos(ax + b) + C

cos(ax)dx = sin(ax) + C cos(ax + b)dx = sin(ax + b) + C

eaxdx = eax + Ceax+bdx = eax+b+ C

 ていねいに計算するには,置換積分によりますが,逆に右辺を微分して左辺にするときに a が掛けられるので,積分のときは a で割ると考えれば簡単です。
(問題1-3)
sin(2x + 1)dx = - + C



e3xdx = + C

(1 - 4x)7dx = + C

cos(3x + )dx = + C

.
(例題2)

xdx
(答案)
= t とおくと,x + 1 = t2  →  x = t2 - 1  →  = 2t  →  dx = 2t dt

(原式) = (t2 - 1)・t・2t dt = 2(t4 - t2)dt = 2( - ) + C

= 2( - ) + C = 2( - ) + C


※ 無理関数を含む場合 = t とおくと,うまく置換積分できます。
簡単な式は,ax + b = t でもできます。
(問題2-1)

dx
(答案)
= t とおくと,x + 1 = t2  →  x = t2 - 1  →  =  →  dx = dt

(原式) = ・2t dt = 2 (t2 - 1)dt = 2( -t) + C

= 2( - ) + C  ・・・(この後 2 でくくることができます。)
(問題2-2)

x dx
(答案)
= t とおくと,x - 1 = t3   →  x = t3 + 1  →  = t2  →  dx = t2 dt

(原式) = (t3 + 1)・t・3t2 dt = 3 (t6 + t3) dt = 3 ( + ) + C

= 3 ( + ) + C

 ・・・(この後 (x - 1) でくくることができます。)
.
(例題3)

2x ex2+1 dx
(答案)
x2 + 1 = t とおくと,= 2x  →  dx =

(原式) = 2x et = et dt = et + C = ex2+1 + C

※ f(x)dxf(x) を被積分関数といいます。この問題のように,被積分関数の全部が t に変換できなくても,約分によって x が消えることがあります。これは,f(x)dxf(x)dx...dt になると考えても同じです。
(問題3-1)

sin3x cosx dx
(答案)
sinx = tとおくと = cosx  →  dx =

(原式) = t3 cosx = t3 dt = + C = + C


※【要点】 sinnx cosx →sinx = tとおく, cosnx sinx → cosx = t とおく。
(問題3-2)

dx
(答案)
log x = t とおくと, =  →  dx = dt

(原式) = x dt = t dt = + C
= + C


.
(例題4)

dx
(答案)
x2 + x + 1 = t とおくと,= 2x + 1  →  dx =

(原式) = = = log| t | + C = log|x2 + x + 1| + C

(この式でx2 + x + 1 は常に正なので,最後の式は log(x2 + x + 1) + C とできます。

※ 一般に,分子が分母の微分となっているときは, となるので,直ちに

log| 分母 | + C とすることができます。(丸もうけです。)
(問題4-1)

dx
(答案)
被積分関数で(分母)’=(分子)となっているから
(原式) = log| | + C
(問題4-2)

dx
(答案)
被積分関数で(分母)’=(分子)となっているから
(原式) = log(ex + ) + C
※ なお,原式の分母は,つねに正だから | | 記号は不要。
(問題4-3)

dx
(答案)
dx = dx と変形すると, 被積分関数で(分母)’=(分子)となっているから

(原式) = log|| + C
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