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■ 分数関数
問題1
 次の分数関数のグラフを右図から選べ.
 (初めに関数を選び続いてグラフを選べ.グラフ側にはジョーカーが含まれている.)











問題2
 次のグラフについて漸近線の方程式を求めよ. __________1.  y=+5

____________________漸近線の方程式は x= , y=

__________2.  y= - 3

____________________漸近線の方程式は x= , y=

__________3.  y=

____________________漸近線の方程式は x= , y=

__________4.  xy+2x - 3y+4=0

____________________漸近線の方程式は x= , y=

__________5.  (2x+1)(3y - 2)=5

____________________漸近線の方程式は x= - , y=

問題3  次の空欄を埋めよ.
(1) y= のグラフは, y= のグラフを

x 軸の正の向きに y 軸の正の向きに だけ平行移動したものである.



(2) y= のグラフは, y= のグラフを

x 軸の正の向きに y 軸の正の向きに だけ平行移動したものである.




(3) 漸近線の方程式が x=2 , y=3 で原点を通る双曲線の方程式は,
y=+

(4) 漸近線の方程式が x= - 1 , y= - 2 で点 (1 , 1) を通る双曲線の方程式は,
y= -
問題4  次の空欄を埋めよ.
(1) 関数 y=|| の最小値を求めよ.

x= のとき,最小値 をとる.


(2) 関数 y= の最小値を求めよ.

x= のとき,最小値 をとる.
■解説
○ 中学校で習う反比例の関数
y=

は右図1のような直角双曲線である.(直角双曲線の「直角」とは,漸近線が直角に交わるということで,直角でない双曲線は数学Cで学ぶ.)
【 グラフの平行移動 】 ・・・(1)
 一般に,関数
y=f(x)
のグラフを x 軸の正の向きに py 軸の正の向きに q だけ平行移動してできるグラフの方程式は
y=f(x - p)+q
になる.
【 直角双曲線の平行移動 】 ・・・(2)
 関数
y=
のグラフを x 軸の正の向きに py 軸の正の向きに q だけ平行移動してできるグラフの方程式は
y=+q
になる.
図1


(1)の詳しい解説→

(2)の例:

y=+4 のグラフは,y= のグラフを x 軸の正の向きに 2y 軸の正の向きに 4 だけ平行移動したものだから,次のようなグラフになる.
【 漸近線の方程式 】 ・・・(3)
 y=+q の漸近線の方程式は,x=p 及び y=q

※ グラフが限りなく近づく線(直線)を漸近線という.この場合,グラフは漸近線に限りなく近づくが,漸近線と交わったり接したりすることはない.
 例えば,y=q が漸近線であるとき,x のどのような値に対しても y=q となるることはない.
 また,x=p が漸近線であるとき, x=p の値に対応する点はない.
※ したがって,y=+q のグラフでは,xp 及び yq となる.
定義域は x<p , p<x
値域は y<q , q<y
【 xy=a の形での表示 】 ・・・(4)
 関数
y=


は,分母を払えば xy=a と同じである.この形で書かれることもある,そのとき,平行移動や漸近線の公式は次の通り.
 xy=a のグラフを x 軸の正の向きに py 軸の正の向きに q だけ平行移動してできるグラフの方程式は
(x - p)(y - q)=a
 また,(x - p)(y - q)=a の漸近線の方程式は
x=p , y=q

2xy - 4x+3y - 2=0
 (2x+3)(y - 2)+6 - 2=0 と変形すると
 (2x+3)(y - 2)= - 4
 すなわち,(x+)(y - 2)= - 2 となるから
xy= - 2 のグラフを
 x 軸の正の向きに - y 軸の正の向きに 2 だけ平行移動グラフで,
 漸近線の方程式は x= - , y=2 となる.
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