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■定積分の部分積分法
次の空欄を埋めなさい。(なお,空欄にはスペースを使わずに半角の「アルファベット小文字または数字」だけを使用するものとします.)
問題 答案
(1)

x sinx dx
◇考え方◇ sinx だけならば積分が求められるが x が掛けてあるので求められない
→ x を微分する側:現在 f の側とする.

( )は左辺の初めの形

下げる:(f) = x → f' = 1 
    g = - cosx ← (g') = sinx:上げる




x sinx dx = - cosx + dx

= (0 - 0) +(1 - 0) = 1

(2)

x log x dx
◇考え方◇ log x の積分が求められない
→ log x を微分する側:現在 f の側とする.

( )は左辺の初めの形

下げる:(f) = log x → f' =  

    g =
(g') = x:上げる



x log x dx = - dx

= ( - 0) - dx = -

=

(3)

log x dx
◇考え方◇ log x の積分が求められない
→ 1・log x と考えて,log x を微分する側:現在 f の側とする.

( )は左辺の初めの形

下げる:(f) = log x → f' =

    g = x ← (g') = 1:上げる



log x dx = x - x dx

= (e - 0) - = e - (e - 1) = 1

(4)

(x - 1)(x - 2)2 dx
◇考え方◇     (x - 2)2 dxだけならば求められる.

(置換積分を用いた公式):    (x - 2)2 dx = + C

→ x - 1 を微分する側:現在 f の側とする.

( )は左辺の初めの形

下げる:(f) = x - 1 → f' = 1
    g =
(g') = (x - 2)2:上げる



(x - 1)(x - 2)2 dx = (x - 1)   -   dx

= (0 - 0) -   =

(5)

ex sin x dx
◇考え方◇ 直接的には値が求まらないとき,= Iとおいて I の方程式を解く.
 I = (・・・) - I → I =
 I = (・・・) + I型だけは不可.それ以外は,I = (・・・) ± kI 型になればすべて求まる.
※ 1回の部分積分で自分自身 I が登場しなければ,部分積分を2回行う.
(ただし,ある関数を上げて下げると何も残らないので注意.上げるなら2回上げること.)
( )は左辺の初めの形

下げる:(f) = sin x → f' = cos x
    g = ex(g') = ex:上げる



ex sin x dx = ex - ex dx
= 0 - ex cos x dx


( )は左辺の初めの形

下げる:(p) = cos x → p' = - sin x

    q = ex(q') = ex:上げる



= - (ex cos x + ex sin x dx )

= - (- eπ - ) - ex sin x dx
I = eπ + 1 - I
I =
(6)

(log x)2 dx
◇考え方◇ (3)と同様に(log x)2 を微分する側に選ぶ.


( )は左辺の初めの形

下げる:(f) = (log x)2 → f' = 2 (log x)

    g = x ← (g') = 1:上げる


(log x)2 dx

=
(log x)2 - log x dx = (*)


( )は左辺の初めの形

下げる:(p) = (log x) → p' =

    q = x ← (q') = 1:上げる


(*) = e - 2( x log x - dx )

= e - 2( -
x ) = e - 2(e - e + 1) = e - 2

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(教材開発ノート)・・・このページでは,画像を用いずに,数式を表現する
試みを行っています。各々の関数は10行程度のもので,想定外の拡張には
テキストエディタで2,3行修正する方法で対応することを考えています。