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■不定積分の部分積分法
◇解説◇
 元の形では積分計算が困難に見える問題でも,形を変えると積分計算の分かる問題に書き直せることがあります。

 積の微分法: 
(fg)’ = f’g + fg’
 の両辺を積分すると,

fg = f’g dx + fg’dx

移項すると,部分積分法の公式が得られます。

fg’dx= fg - f’g dx

例1

x sin x dx


  ( )は左辺の初めの形

   下げる:(f) = x   → f' = 1
     g = - cos x ← (g') = sin x:上げる


x sin x dx = - x cos x + cos x dx
= - x cos x + sin x + C


※ x と 三角関数,指数関数などの積 → x を f側 (次に微分する側)に選ぶと消える
例2

x logx dx


  ( )は左辺の初めの形

  下げる:(f) = log x   → f' =
     g = (g') = x:上げる



x logx dx = log x - dx

= log x - dx

= log x - + C

※ log x → 微分する側(現在 f の側)に選ぶとうまくいくことが多い。
(例外:log x は相手が多項式であっても,微分する側とする。)
例3

I = ex sin x dx とおく


  ( )は左辺の初めの形

  下げる:(f) = sin x → f' = cos x
      g = ex(g') = ex:上げる


I = ex sin x dx

= ex sin x - ex cos x dx


  ( )は左辺の初めの形

  下げる:(p) = cos x → p' = - sin x
      q = ex(q') = ex:上げる


I = ex sin x - ex cos x dx

= ex sin x - (ex cos x + ex sin x dx)

I = ex sin x - ex cos x - I となるから,

I = + C


※ 同じものが出てくるまで変形する → I とおいて解く。

■ 問題 次の空欄を埋めなさい。(なお,空欄にはスペースを使わずに半角の「アルファベット小文字または数字」だけを使用するものとします.)
問題 答案
(1)

x e-3x dx
◇考え方◇ x を微分する側(初めの f の側)に選ぶ → x が消える。

   ( )は左辺の初めの形

   下げる:(f) = x → f' =  
        g =   ← (g') = e-3x
:上げる




(原式) = x - 1・ dx

= - + e-3x dx = - + + C

= - - + C = - + C

(2)

x2 cos x dx
◇考え方◇ x2 を微分する側(初めの f の側)に選ぶ → 2回の部分積分で消える。

   ( )は左辺の初めの形

   下げる:(f) = x2 → f' = x 
        g = (g') = cos x:上げる


(原式) = x2sin x - 2x sinx dx = x2sin x - 2 x sinx dx

   ( )は左辺の初めの形

   下げる:(p) = x → p' =
        q = - cos x ← (g') = sin x:上げる


(原式) = x2sin x - 2( x (- cosx ) + cos x dx )
= x2sin x - 2( - x cosx + sin x) + C
= x
2sin x + 2x cosx - 2sin x + C

(3)

log x dx
◇考え方◇ 1・log x と考える

   ( )は左辺の初めの形

   下げる:(f) = log x → f' =  

        g =   ← (g') = 1: 上げる


(原式) = x log x - x dx = x log x - dx

= x log x - + C

(4)

dx



・・[別解]・・
◇考え方◇ log x を微分する側に選ぶ

   ( )は左辺の初めの形

   下げる:(f) = (log x)2 → f' = 2 (log x)  

        g =   ← (g') = : 上げる


(原式) = I とおく
I = (log x)3 - 2 log x log x dx


= (log x)3 - 2 dx

I = (log x)3 - 2I だから

I = + C

(5)

(log x)2dx
◇考え方◇ 1・(log x)2 と考える

   ( )は左辺の初めの形

   下げる:(f) = (log x)2 → f' = 2 (log x) 

        g = x  ← (g') = 1: 上げる
(原式) = (log x)2 dx

= (log x)2 - (log x) x dx= x (log x)2 - log x dx

   ( )は左辺の初めの形

   下げる:(p) = log x → p' =  

        q = x  ← (q') = 1: 上げる

log x dx = x log x - x + C だから
(原式)= x (log x)2 - 2(x log x - x) + C
= x (log x)2 - 2x log x + 2x + C

(6)

eax cos bx dx

 (ただし,a,b0 とする。)
◇考え方◇ = I とおいて,同じものが登場するまで部分積分を繰り返す。
   ( )は左辺の初めの形

   下げる:(f) = eax → f' = a eax 

        g =   ← (g') = cos bx: 上げる

(原式) = eax cos bx dx

= - eax sin bx dx

   ( )は左辺の初めの形

   下げる:(p) = eax → p' = a eax 

        q = -   ← (q') = sin bx: 上げる


(原式) = - ( - + eax cos bx dx )

I = + - I

I =

I =



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◇教材開発ノート◇・・・このページでは,各10行程度
の関数を用いて,Web上の数式を表現しています。