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■絶対値記号付の不等式
問題1  次の不等式の解を下の選択肢から選べ.  
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問題2  次の不等式の解を下の選択肢から選べ.  
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■解説
【 要約 】 絶対値付の不等式では,
(A) 絶対値記号1つと定数だけのときは,次のように簡単にできる.
|x|>3 の問題 ⇔ x< - 3 または 3<x
|x|<3 の問題 ⇔ - 3<x<3

(B) 一般の場合には,場合分けによって絶対値記号をはずすことができる
|x - 1|+|x - 2|<3 などの問題
(A)の解説
|x| の定義: |x| は原点( x=0 )からの距離( ≧0を表わす.

 ⇒ |x|>3
原点からの距離が 3 よりも大きい値,すなわち右図灰色部の値になるから,x< - 3 または 3<x


 ⇒ |x|<3
原点からの距離が 3 よりも小さい値,すなわち右図灰色部の値になるから,- 3<x<3
(B)の解説
○ |x - 1| をはずすには,| | 記号の内部,すなわち,x - 1 の正負によって分ける.⇒ x<1x1 に分ける.

○ |x - 2| をはずすには,| | 記号の内部,すなわち,x - 2 の正負によって分ける.⇒ x<2x2 に分ける.

○ 両方をはずすには
(ア)x<1 (イ)1x<2 (ウ)x2
の3つに分ける.

(答案)は次のようになる.
(ア)x<1 のとき,
______( - x+1)+( - x+2)<3 より x>0
______したがって,0<x<1 …(*1)
(イ)1x<2 のとき,
______(x - 1)+( - x+2)<3 より 1<3 これはつねに成り立つ.
______したがって,1x<2 …(*2)
(ウ)x2 のとき,
______(x - 1)+(x - 2)<3 より x<3
______したがって,2x<3 …(*3)
以上より,0<x<3 …(答)
注意点
 上記のように場合分けしたとき,(ア)(イ)(ウ)の内部では,その場合分けに用いた条件を使わなければならないことに注意.
 例えば(ア)で,x<1 のとき  …… x>0 と出てくれば,
0<x<1 とまとめる.
 (イ)(ウ)も同様にして,「場合分けに用いた条件」と「出てきた条件」を『かつ』で結んでまとめることが重要.

 全体をまとめるときに,
0<x<11x<2 は右図のように区間がつながって,0<x<2 になることに注意
 この問題では,さらに 2x<3 だから,結局 0<x<3 になる.
(ペッチン,ポッチンは下着などを指で押してつなぐ小さな金具の子ども言葉.凹型と凸型がちょうど合うようになっている.)
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