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■ベクトルのなす角
[要点]

= || || cosθ を用いれば,
  • の値   || ,||, cosθの値により,の値を求めることができる。
     

 のように変形すれば,
  • cosθの値    || ,||の値 により,cosθの値を求めることができる。
     cosθ= のときは,筆算で角度θの値が求められます。これ以外の値については,通常,cosθの値は求まりますがθの値までは求まりません。

特に, のとき,
  •  = 0 ←→  ← [重要]ベクトルの垂直条件(直行条件)
    垂直(直角,90°)は1つの角度に過ぎませんが,実際に出会う問題は垂直条件(直交条件)を求めるものの方が多いので要注意です。

[例題]

=(√3,1),=(0,2)のときのなす角θを求めなさい。
答案例
|| ==2
||==2
=√3×0+1×2=2
だから,

cosθ=1/2
θ=60°
・・・(答)

=(1,2),=(-1,3)のときのなす角θを求めなさい。
答案例
|| = =√5
|| ==√10
=1×(-1)+2×3=5
だから,

cosθ=
θ=45°
・・・(答)

=(1,1),=(1,2)のときのなす角をθとするとき,cosθの値を求めなさい。
(
のなす角の余弦の値を求めなさい。)
答案例
|| = =√2
|| =
=√5
=1×1+1×2=3
だから,

cosθ=

・・・(答)

=(1,2),=(t,1)のときが垂直となるようにtの値を定めなさい。
答案例
=t+2=0 t=-2・・・(答)
問題をする==●