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余弦定理の2次方程式
《解説》

 2辺a,bの長さと角Aの大きさが与えられているとき,△ABCの他の要素を求める問題は,
により,正弦定理を用いて角Bを求めるのが第一手と考えるのが基本です.



 しかし,ここでは,2辺a,bの長さと角Aの大きさから辺cの長さを求める他の方法を紹介します.
a,b,Aが与えられているとき,
余弦定理 a2=b2+2-2b・cosA 
を辺cについての2次方程式と見てcを求めることができます.



 a=2,b=√6,A=45°のとき辺cの長さを求めなさい.

(答案) 
 角Aを用いた余弦定理から2次方程式を作ると,
 a2=b2+c2-2bc・cosA
 4=6+c2-2√6・1/√2
 c2-2√3+2=0
 解の公式から c=√3±1・・・(答)
2次方程式の解は,通常2個あります.2つとも三角形の辺の長さを表しているか,1つだけが答となるかは,三角形ができるかどうかで判断します.
もし,2次方程式の解がc=1±√3 となれば,c=1+√3だけが答です.(c=1-√3 (<0)では三角形はできないからです.)


《問題》
 △ABCにおいて次の問に答えなさい.

 a=7,b=5,A=60°のとき辺cの長さを求めなさい.


√2√3
√2または2√2
√3または3√3
√2または√3
√2±1√3±1
上記以外

 
 a=7,b=5,A=120°のとき辺cの長さを求めなさい.

√2√3
√2または2√2
√3または3√3
√2または√3
√2±1√3±1
上記以外

 c=,a=5,C=60°のとき辺bの長さを求めなさい.


√2√3
√2または2√2
√3または3√3
√2または√3
√2±1√3±1
上記以外

 a=√2,c=√6,A=30°のとき辺bの長さを求めなさい.


√2√3
√2または2√2
√3または3√3
√2または√3
√2±1√3±1
上記以外

 b=√7,c=4,B=30°のとき辺aの長さを求めなさい.


√2√3
√2または2√2
√3または3√3
√2または√3
√2±1√3±1
上記以外
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