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筆算固有の問題
《解説》
 

 三角比の表(三角関数表)を使わずに,筆算だけで問題を解く場合,通常は30°,45°の整数倍の三角比の値のみが利用可能です(sin75°などの値は,通常覚えません)
 そこで,sin75°,cos105°などの値が必要になったら,別の角度を利用する方法を探します.
 このときに用いられるものには,「正弦定理」「余弦定理」の他,余弦定理で2次方程式を作る方法,第一余弦定理三角形の内角の和があります.
  • 余弦定理で(の)2次方程式を作る:
  • 2=c22−2c・cosB など
[第一余弦定理]
(解説)
次の図のように,Aから垂線をひくと,
a=b・cosC+c・cosB
 この関係はB≧90°またはC≧90°の場合にも成立します.
 第一余弦定理は,1つの辺(a)の大きさを求めるために,辺の長さ2個,角の大きさ2個を必要とするため,余弦定理よりも「弱い」定理ですが,角Aの値が利用できないような場合に有効です.
 この関係を第一余弦定理,(通常用いる)余弦定理のことを第二余弦定理と呼ぶことがあります.

 a=2,A=45°,C=75°のとき辺cの長さを求めなさい.
 
(第一印象)
 正弦定理a/sinA=c/sinC を利用すればcが求められるように思えますが,sin75°の値が使えません.
(答案)
三角形の内角の和は180°だから,B=60°
正弦定理により,a/sinA=b/sinB だから,b=asinB/sinA=√6
 
第一余弦定理により,c=acosB+bcosA=2・1/2+√6・1/√2=1+√3・・・(答)


参考:
(別解1) B=60°,b=√6から角Aを用いた余弦定理から2次方程式を作ると,
 a2=b2+c2-2bc・cosA
 4=6+c2-2√6・1/√2
 c2-2√3+2=0
 解の公式から c=√3±1・・・(このままでは,いずれが答か,両方とも答なのか決まりません.)
 C>Aによりc>aとなるからc=√3+1・・・(答)


(別解2) B=60°,b=√6から角Bを用いた余弦定理から2次方程式を作ると,
 b22+a2−2a・cosB
 6=2+4-2・2・1/2
 2-2-2=0
 解の公式から c=1±√3, c>0によりc=1+√3・・・(答)
※(第二)余弦定理で2次方程式を作る方法は,有力な方法です.この方法を用いるときには,見かけの解が2つ登場する場合がありますので,上の例のように吟味して答を選びます.


《問題》 次の△ABCについて指定されたものを右から選びなさい.
(ルール:左の問題を一つクリックし,続けてをクリックしたとき,合っていれば消えます.間違えば♪〜.)



















 
 

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