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重複組合せ(文章題)

《問題》

1
 10個の同質なボールを3人の子供に分け与える方法は何通りありますか.ただし,1個ももらえない子供があってもよいものとします.
 
通り
 
 


 10個の同質なボールを3人の子供に分け与える方法は何通りありますか.ただし,どの子供も少なくとも1個はもらえるものとします.
通り
 
 

3
 x+y+z=10 (x,y,z≧0)を満たす整数解の組(x,y,z)は何通りありますか.
通り
 
 

4
 x+y+z=10 (x,y,z≧1)を満たす整数解の組(x,y,z)は何通りありますか.
 
通り
 
 

5
 x+y+z=10 (x≧1,y≧0,z≧-2)を満たす整数解の組(x,y,z)は何通りありますか.
 
通り
 
 


 (x+y+z+p+q)4を展開して同類項をまとめたとき,異なる項は何通りありますか.
通り
 
 


 (x+y+z+p)5を展開して同類項をまとめたとき,異なる項は何通りありますか.
 
通り
 
 


 4桁の電話番号で千,百,十,一の位の数を各々a,b,c,dとするとき,0123,1223,2333のように,a≦b≦c≦dの条件を満たすものは何通りありますか.
 
通り
 
 

 (む)

 112103 を1つのHに直して,その値を求めなさい.

 

 
 

10 (むむむ)

 103938373+・・・2313 を1つのHに直して,その値を求めなさい.

 

 
 


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[ヒント]

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 はじめに1個ずつ配っておき,残り7個を分けます.

 x,y,zの3人の10個のボールを分ける方法と同じです.

 X=x−1,Y=y−1,Z=z−1とおくと,X+Y+Z=7 (X,Y,Z≧0)の解の個数を求めることとなります.

 
 X=x−1,Y=y,Z=z+2とおくと,X+Y+Z=11 (X,Y,Z≧0)の解の個数を求めることとなります.

 5個のものx,y,z,p,qのうちから重複を許して4回名前を呼ぶこととなります.
(x+y+z+p+q)(x+y+z+p+q)(x+y+z+p+q)(x+y+z+p+q)
      ↓    ↓     ↓       ↓
      x     x     y       p  など

  4個のものx,y,z,pのうちから重複を許して5回名前を呼ぶこととなります.
(x+y+z+p)(x+y+z+p)(x+y+z+p)(x+y+z+p)(x+y+z+p)
    ↓    ↓     ↓     ↓    ↓
    x     x     x      y    y など

 10個の数字から,重複を許して4個選べば,並べ方は決まります.

 Cn-1Cn−1Cr−1にヒントを得てある特定のものが含まれる場合とそうでない場合に分けて考えます.
 異なる11個のものから重複を許して3個とる組合せは,
ア)特定のものを少なくとも1つ含む場合 (のこり2個を全体の11個から自由に選ぶ)11
イ)特定のものを含まない場合  103
の和です.
10
 問9を手がかりにして,r−1n−1 という公式を作ります.
 これより,

r−1+(n-1r−1n−2

r−1+(n-1r−1+(n-2r−1n−3))
・・・
r−1n-1r−1n-2r−1+・・・+1
ここで11r-1=1だから
r−1n-1r−1n-2r−1+・・・+1r-1