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重複組合せ
《解説》
 [記号]
 異なるn個のものから重複を許してr個とる組合せの総数で表します.
(一応確かめる)
 順列 ÷r! → 組合せ
 のように,順列をr!で割ると組合せになりますが,重複順列Πと重複組合せの関係は単純ではありません.
 これは,右の例のように重複組合せの中身によって並べ方の総数が変わるからです.
 そこで,重複順列から逆算して重複組合せを求めるという方針をあきらめます.

異なる2つのものa,bから重複を許して3つとる方法

重複組合せ
 
重複順列
{a,a,a}
{a,a,b}
{a,b,b}
{b,b,b}
←→
←→
←→
←→
(a,a,a)       1通り
(a,a,b),(a,b,a),(b,a,a) 3通り
(a,b,b),(b,a,b),(b,b,a) 3通り
(b,b,b)       1通り

■例
 「異なる4人の子供に重複を許して5個のボールを分け与える数」の考え方

 4人の子供を区別するために,右図のように縦棒|を3個置きます.(縦棒の両側はおのおのa君,d君のボールです.--このように,両端を含む4か所を区別するときは,(植木算で!)仕切り棒は4-1=3本です.)
 右図のbのように,仕切り棒が隣り合う場合は0個を表すものとします.

 このようにすれば,○5個,|3個同じものがあるときの順列の総数が求める数値となります.

 a=2,b=0,c=2,d=1となる分け方

 《公式にする方法》
 上の答は=56 ですが,しばしば登場するものに,毎回図を書くのは大変なので,通常への読み替え公式を利用します.


 5はボールの数(r)です.3は子供の数(n)-1です.
したがって,この結果は
と表すことができます.
 ところで,分母に登場する2つの数n−1とrの和が分子n+r−1に等しいような式は,いつでもCに直すことができます.
例 
 そこで,n+r-1 となります.

 

《HをCに直す公式》
 
 
 
 
 

n+r-1C

(-1は植木算のため)

■ 「異なる4個のものから重複を許して5個とる組合せの総数」は,giveとtakeが逆に見えますが,これとまったく同じです.

■ 例題

 次の値を求めなさい.  
 (答案)
 85=56・・・(答)



《問題》 左の値に等しいものを,右から選びなさい.
(ルール:左の式を一つクリックし,続けてをクリックしたとき,合っていれば消えます.間違えば♪〜.)



















 
 

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