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順路
《解説》

 右図のような街路があるとき,A地点からB地点まで最短経路で行く方法は何通りありますか.
(考え方)
 順路を式や文字に対応させることができれば取り扱いが容易になります.
 A地点からB地点へ,遠回りせずに行く限り,どの順路も東向きに4回,北向きに3回移動していることが分かります.
 東に移動することをe(eastの略),北に移動することをn(northの略)で表すと,右の茶色の順路はeneenenに対応しており,青の順路はnneeneeに対応しています.
 eが4個,nが3個(同じものが)あるときの順列の総数を求めれば,それが順路の総数になります.

(答案)
 =35通り・・・(答)

■ 余談1
 右図のように,平行線の幅が異なる場合でも,上の答案でよい:それぞれの順列,例えばenneeneにおいて,はじめのnは御池から丸太町への移動,・・・,はじめのeは西大路から千本への移動,・・・というように意味付けできるからです.

■ 余談2
 順路の問題を組合せの項目で教えるか,順列の項目で教えるかは,先生しだいです.筆者は,「同じものがあるときの順列」で教えたほうがよく理解されるという経験則から,順列の項目で教えます.しかし,多くの教科書で順路の問題は「組合せ」の項目にあります.これは,「同じものがあるときの順列」を組合せで説明する方法をとっているからです.



《問題》
1
 次の図のような街路において,A地点からB地点まで最短経路で行く方法は何通りありますか.
 
通り
 
 


 次の図のような街路において,A地点からB地点まで最短経路で行くとき,途中P地点を通る方法は何通りありますか.
(AからP,PからBに行くことにすると,黄色で示した2つの長方形で各々順路を考えればよいことになります.結果は積の法則でまとめます.)
通り
 
 

3
 次のような街路において,A地点からB地点まで最短経路で行くとき,途中P地点を通らない方法は何通りありますか.
 
(全体-Pを通る方法)
通り
 
 

4
 次のような街路において,A地点からB地点まで最短経路で行くとき,途中Q地点とP地点を通る方法は何通りありますか.
通り
 
 

5
 次のような街路において,A地点からB地点まで最短経路で行くとき,途中Q地点を通らずP地点を通る方法は何通りありますか.
通り
 
 


 次の図のような街路において,A地点からB地点まで最短経路で行く方法は何通りありますか.
通り
 
 


 次の図のような街路において,A地点からB地点まで最短経路で行くときに,途中の○の地点で買い物をしなければならないとすると,行き方は何通りありますか.
通り
 
 


 次の図のような街路において,×印の所が通行止めになっているとき,A地点からB地点まで最短経路で行く方法は何通りありますか.
通り
 
 


 次の図のような街路において,A地点からB地点まで最短経路で行く方法は何通りありますか.
通り
 
 

10
 次の図のような街路において,A地点からB地点まで最短経路で行く方法は何通りありますか.
通り
 
 


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[ヒント]

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 A→Q: 4!÷(2!2!)=6通り
 Q→P: 2!÷(1!1!)=2通り
 P→B: 4!÷(3!1!)=4通り
これらを積の法則でまとめます.


 Pを通る方法 - PもQも通る方法
 

 街路の一部が欠けているときの考え方として,
 (ア) 全体から,欠けた部分を通るものを引く方法
 (イ) 検問を作り,場合分けする方法
 があります.
(ア)の方法でこの問題を解くときは,右図Cを通るものを全体から取り除きます.
 全体=9!÷(4!5!)
 Cを通るもの=6!÷(3!3!) × 3!÷(2!1!)

(イ)の方法でこの問題を解くときは,例えば右図印のような検問を通るものを和の法則でまとめます.
 6!÷(2!4!) ×1
 +
 6!÷(2!4!) × 3!÷(2!1!)
 +
 6!÷(1!5!) × 1
 (検問の作り方には工夫が必要です--すなわち,それらの検問でAからBへ行く道が「もれなく」「重複なく」数えられることが重要です.右図印のような検問と左の印の検問を併用すると,両方通るものが登場してしまいます。)


 C地点とD地点を通るものを考えます.この場合CD間の道は1通りです.
 A→C: 5!÷(2!3!)
 C→D: 1
 D→B: 3!÷(2!1!)
これらを積の法則でまとめます.

 全体 - 通行止め区間を通る道の数
 

 左上の欠けた部分を通る道は,必ずC地点を通ります.また,右下の欠けた部分を通る道は必ずD地点を通ります.そこで,全体から,Cを通るものとDを通るものを取り除きます.
 全体: 9!÷(5!4!)
 Cを通る: 5!÷(4!1!)
 Dを通る: 6!÷(5!1!)(C,Dの両方を通ることはありません.)

 検問を作る方法では,右のP,Q,Rのような検問で待ち受けると「もれなく」「重複なく」数えることができます.
 Pを通る: 5!÷(3!2!) × 4!÷(3!1!)
 Qを通る: 5!÷(2!3!) × 4!÷(2!2!)
 Rを通る:<注意:Rを通るものは必ず1つ上の点を通るので,問7の考え方で上にパイプを出します.>
      5!÷(4!1!) × 1 × 3!÷(2!1!)


10
 この問題は,検問を置くほうが扱いやすいでしょう.
 Pを通る: 5!÷(2!3!) × 4!÷(3!1!)
 Qを通る: 5!÷(2!3!) × 4!÷(2!2!)