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円順列,じゅず順列
《解説》
 
---円順列---
例1
 4人の生徒が円形のテーブルのまわりに座るとき、座り方は何通りあるか.
<考え方>
 右図の4種類の座り方は,左上の座り方を回転させたものです.
 このように「回転させれば一致する並び方は同じならび方とみなす」のが円順列です.
 円運列とは,座席を区別せず,ものの相対的な位置関係だけを区別するものだともいえます----右図のどの場合にもAさんの右手にはBさんがいます.
 座席の区別があれば4!通りの座り方がありますが,まわせば重なるものが4通りずつ含まれているので,円順列としては4!÷4=3!通りあります.
6通り・・・(答)

 答えとなる並び方は,右図----1人(Aさん)の座席を固定して表したもの.

これらは全部同じもの===>円順列としては1通り

《要点》

n個のもの全部使ってできる円順列の総数は
(n−1)!  

---じゅず順列---
例2
 ダイヤ,サファイヤ,ルビー,水晶の4種類の宝石を使って首飾りを作るとき,何通りの首飾りができるか.
<考え方>
 首飾りのように持ち上げることのできるものでは,「まわして重なる」だけでなく「裏返せば重なる」ことがあります.
 右の6個の輪は前の問題の円順列ですが,この中には裏返せば重なるものが2つずつあります.
 そこで,首飾りの種類は,円順列のさらに半分になります.
(このような数え方をするものを,「じゅず順列」といいます.)

3!÷2=3通り・・・(答)

 
《要点》

n個のもの全部使ってできるじゅず順列の総数は
(n−1)!÷2  


《問題》
1
 5人の人が円形のテーブルのまわりに座る方法は何通りあるか.

2
 6人の生徒が手をつないで輪になる方法は何通りあるか.

3
 父母と子供3人の合計5人が円卓のまわりに座るとき,父母が隣り合う座り方は何通りあるか.



 父母と子供4人の合計6人が円卓のまわりに座るとき,一番年下の子供が父母の間に座る方法は何通りあるか.


 先生2人,生徒6人の合計8人が手をつないで輪になるとき,先生は互いに向かい側に来るような並び方は,何通りあるか.


 男子2人,女子4人の合計6人が手をつないで輪になるとき,男子が隣り合わない並び方は何通りあるか.


 A,B,C,D,E,F,Gの7人が卓のまわりにすわるとき,D,FがともにAと隣り合うような座り方は何通りあるか.
(京都府大)


 
 男女5人ずつ合計10人が手をつないで輪になるとき,男女が交互に並ぶ方法は何通りあるか.


 
 4人の人が次の図のように正方形のテーブルのまわりに座る方法は何通りあるか.

10
 赤1枚,青2枚,黄3枚の合計6枚のカードを机の上で円形に並べる方法は何通りあるか.ただし,同じ色のカードには区別はないものとする.

11
 相異なる6個の宝石を全部使って首飾りを作る方法は何通りあるか.

12
 相異なる6個の宝石のうち4個を使って首飾りを作る方法は何通りあるか.

13
 立方体(正六面体)の表面を6種類の色を全部使って塗り分ける方法は何通りあるか.

14
 正四面体の4面を赤,青,黄,緑の4色で塗り分ける方法は何通りあるか.
(龍谷大)


15
 実際に使われるさいころは,向かい合う2面に書かれた数の和が7になるように作られています.(1の裏は6,2の裏は5,3の裏は4です.)この約束だけでさいころを作ると,異なる種類のさいころは,何通りできるか.

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