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センタ−試験
確率/加法定理,期待値,乗法定理

《もとの問題1》
 

 A,Bの二人が球の入った袋を持っている.Aの袋には1,3,5,7,9の数字が一つずつ書かれた5個の球が入っており,Bの袋には2,4,6,8の数字が一つずつ書かれた4個の球が入っている.
(1) AとBが各自の袋から球を1個取り出し,書かれた数が大きい方の人を勝ちとする.このとき
Aが勝つ確率は,Bが勝つ確率はである.
 勝ったときには自分が出した数を得点とし,負けたときには得点は0とする.このとき
Aの得点の期待値は,Bの得点の期待値はである.
(2) AとBが2個ずつ球を取り出して,書かれている数の和を比べるとき,それらが等しくなる確率はである.
(「1997センター試験問題」からの引用)
《答える前に》
(1) 次の表の左の欄はAの数,上の欄はBの数とするとき,これらの組合せのうちAが勝つ場合にをつけなさい. 

 
 


もとの問題で,チ=,ツ=

 


 Bが勝つ場合にをつけなさい.

 
 


もとの問題で,テ=,ト=

 



 Aが次の表はAの得点x,その確率p及びxpの表です.この表を埋めてAの得点の期待値を求めなさい.
 
0
3
5
7
9





1
xp






.

 


同様にしてBの得点の期待値を求めなさい.
 
0





1
xp






 


(2) Aから2個取り出したときの和は,,・・・,16となり,Bから2個取り出し出したときの和は,・・,14となるから,A=B=,A=B=,・・・,A=B=14となる確率を求める:
 
Aの和
10
12
10
12
14
16
Bの和
10
10
12
14
確率の計算:
Aから2個取り出す方法は
52=10通り.
Aから2個取り出す方法は
42=6通り.
確率の計算
  • そのうち和が6となるのは1通り.
  • そのうち和が6となるのは1通り.
A=6,B=6となる確率は
 
 
  • そのうち和が8となるのは2通り
  • そのうち和が8となるのは1通り.
A=8,B=8となる確率は
 
  • そのうち和が10となるのは2通り
  • そのうち和が10となるのは2通り.
A=10,B=10となる確率は
 
  • そのうち和が12となるのは2通り
  • そのうち和が12となるのは1通り.
A=12,B=12となる確率は
 
  • そのうち和が14となるのは1通り
  • そのうち和が14となるのは1通り.
A=14,B=14となる確率は
 
 
 



  

 



《もとの問題2》
 
 A,B二人のそれぞれがもつ袋には,次のように点数のついた玉が6個ずつ入っている.
Aの袋: 6点の玉2個,3点の玉1個,0点の玉3個
Bの袋: 6点の玉1個,3点の玉3個,0点の玉2個
 A,Bは,各自の袋から玉を1個取り出して元に戻す.このとき,取り出した玉の点数をその人の得点とする.これを2回行って合計得点について考える.
(1) Aの合計得点が6点になる確率はである.
(2) Aの合計得点の期待値はである.
(3) Aの合計得点とBの合計得点がともに6点となる確率はである.
(4) Aの合計得点とBの合計得点が等しくなる確率はである.
(「1998センター試験問題」からの引用)

《考え方の例》 《解答する》
(1)
 Aが2回取り出したときの合計得点は,次の表のようになります.これにより,Aの合計得点が6となる確率が求まります.
(1)
シ=,ス=,セ=,ソ=


(2)
 上の表により,Aの合計得点x=0,3,6,9,12となる確率p及びxpは,各々次の表のようになります.
(2)
タ=

(3)
 Bが2回取り出したときの合計得点は,次の表のようになります.上の(1)の表とこの表を組合せると,Aの合計得点とBの合計得点がともに6点となる確率が求まります.
(3)
チ=,ツ=,テ=



 

(4)
 AとBの合計得点が等しくなる場合を,各々乗法定理で求めて,集計します.
(4)
ト=,ナ=,ニ=




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