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■正方行列のn乗 ■Aの計算機
A
=
  のとき
  
A
=
■研究
上の表を利用して2,3の実験を行うことにより,次の性質が成り立つことを確かめなさい。
右図のように,行番号i≠列番号j となる成分が0となる行列を
対角行列と名付けることとします。

対角行列のn乗は,対角行列になる。

  
右図のように,行番号i>列番号j となる成分が0となる行列を
上三角行列と名付けることとします。

上三角行列のn乗は,上三角行列になる。

  
右図のように,行番号i<列番号j となる成分が0となる行列を
下三角行列と名付けることとします。

下三角行列のn乗は,下三角行列になる。

  
■問題
(以下においては2×2行列で考え,nは2以上の整数とします。)上の表を利用して2,3の実験を行うことにより,次の性質が成り立つかどうか答えなさい。成り立つものにチェックを付けなさい。(なお,2,3の実験では,証明にはなりませんが,イメージをつかむのには有効です。)
右図のように,左下-右上方向の対角成分以外が0となる行列を,
ここではA型の行列と名付けることとします。

A型の行列のn乗は,A型の行列になる。

  
右図のように,行番号と列番号を入れ替えると元の行列と一致する
行列を,ここではB型の行列と名付けることとします。

B型の行列のn乗は,B型の行列になる。

  
右図のように,Aの行番号と列番号を入れ替えると−Aなってい
る行列をここではC型の行列と名付けることとします。

C型の行列のn乗は,C型の行列になる。

  
右図のように,行番号i≧列番号j となる成分が0であるだけでなく,
さらに行番号i<列番号j となる成分0でない行列を,ここでは
D型の行列と名付けることとします。

D型の行列のn乗は,D型の行列になる。

  
右図のように,下半分の成分が0であるだけでなく,さらに上半分の
成分が0でない行列を、ここではE型の行列と名付けることとします。

E型の行列のn乗は,E型の行列になる。

  
右図のように,右半分の成分の符号が正であるだけでなく,さらに左半分の
成分の符号が負である行列を、ここではF型の行列と名付けることとします。

F型の行列のn乗は,F型の行列になる。

  

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