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■ 放物線の頂点の軌跡,円の中心の軌跡
例1
 a の値が実数全体を変化するとき,放物線 y = x2 -2ax +1の頂点の軌跡の方程式を求めなさい。


[イメージ作りでスタート]
 右図の青いスケール上(aの値を表わす)でマウスを動かすと,対応するaの値のときの放物線 y= x2 -2ax +1のグラフができます。
(グラフは,-4<a<4のときに右の方眼紙の中に入ります。)
[第一印象]
 もとの放物線が下に凸であるのに対して,頂点●の軌跡は上に凸の放物線です。

[頂点の軌跡の方程式を求める]
放物線 y = x2 -2ax +1の頂点の座標は
y = x2 -2ax +1 = (x - a)2 + 1 - a2 により

x = a
y = 1 - a2
この媒介変数表示からaを消去すると
y = 1 - x2 ・・・(答)
. 
例2
 a の値が変化するとき,
円 x2+y2-2ax-4ay+6a2-16=0 の中心の軌跡を求めなさい。


[イメージ作りでスタート]
 右図の青いスケール上(aの値を表わす)でマウスを動かすと,対応するaの値のときの円 x2+y2-2ax-4ay+6a2-16=0 のグラフができます。
(グラフは,-4<a<4のときに右の方眼紙の中に入ります。)


[第一印象]
 中心は直線上を動く。
 半径は変化し,aの絶対値が大きいときには円にならない。

[円の中心の軌跡の方程式を求める]

x2+y2-2ax-4ay+6a2-16=0 より
(x - a)2 +(y - 2a)2 = 16 - a2
これは
中心がx = a・・(1)
        y = 2a・・(2)
半径2が 16 - a2 の円
(ただし,円となるには-4<a<4)・・(3)
(1)(2)よりaを消去して
y = 2x (ただし(3)より-4<x<4)・・・(答)

※x=±4のときは点となり円には含めません。

 
■ 問題 ・・・ 計算用紙が必要です。

2次関数 y = x2 + 2ax + 3a2 - 1 の頂点の軌跡を求めなさい。
[選択肢]

y = x2 + 2x
y = 2x2 - 1
y = x2 + 2x - 1

[ヒント]

2次関数 y=-x2+2(a+1)x+2a+6 の頂点の軌跡を求めなさい。
[選択肢]

y=x2+2x+2
y=x2+2x+3
y=x2+2x+4

[ヒント]

円 x2+y2-2ax+4ay+5a2-4=0 の中心の軌跡を求めなさい。
[選択肢]

y = 2x
y = -2x
x = 2y
x = -2y

[ヒント]

円 x2+y2+(2a+2)x-(4a+2)y+6a2+6a-2=0
の中心の軌跡を求めなさい。
[選択肢]

y=-2x-1

(-3<x<1)
y=-2x-1
(-2<x<2)
y=-2x-1
(x<-3,1<x)
y=-2x-1
(x<-2,2<x)
[ヒント]

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