×

[PR]この広告は3ヶ月以上更新がないため表示されています。
ホームページを更新後24時間以内に表示されなくなります。

■ 媒介変数表示とは
 
中学校以来,グラフ,直線・曲線の方程式は,
xとyの式で表わされました。
例 y = 2x + 3
例 x2 + y2= 9 など


 このページで説明する媒介変数表示とは,x座標とy座標を他の変数の関数として表わしたものをい います。
x = t2 - 3
y = 3t + 1 など
♪〜x家とy家のご縁を取り持つ媒酌人はt氏です。〜♪
 

t が変化すれば,xが変化し,yも変化するので,
x と y が連動しているように見えます。

実際,xが決まればyが決まります。

.
■ 媒介変数表示のイメージ
 例1
  物理の公式を用いると,高さ10(m)の屋上から水平方向に4(m/秒)の速さで投げ出された物体のt秒後のx座標とy座標は次の式で表わされます。
x = 4t
y = -4.9t2 + 10
※ t の値の上にマウスを置くと,対応するx,yの値とグラフ上の点の位置が 示されます。

 この例では,時刻 t を媒介変数としてx座標とy座標が決まり,
それぞれの t の値について点が定まります。

 

t(秒)
x(m)
y(m)
0.00
0.00
10.00
0.10
0.40
9.95
0.20
0.80
9.80
0.30
1.20
9.56
0.40
1.60
9.22
0.50
2.00
8.78
0.60
2.40
8.24
0.70
2.80
7.60
0.80
3.20
6.86
0.90
3.60
6.03
1.00
4.00
5.10
1.10
4.40
4.07
1.20
4.80
2.94
1.30
5.20
1.72
1.40
5.60
0.40
1.50
6.00
-1.03
.
 例2
 右の表は,動径がx軸の正の向きとなす角をθ(度)としたとき,
x = cosθ
y = sinθ
で与えられる点x,yの座標で,グラフはこれを点で示したものです。

 この場合,x,yは角度θによる媒介変数表示で表わされ,グラフは原点を中心とする半径1の円になります。 

※ θ の値の上にマウスを置くと,対応するx,yの値とグラフ上の点の位置が示されます。  

θ (度)
x
y
0
1.0000 
0.0000 
15
0.9659 
0.2588 
30
0.8660 
0.5000 
45
0.7071 
0.7071 
60
0.5000 
0.8660 
75
0.2588 
0.9659 
90
0.0000 
1.0000 
105
-0.2588 
0.9659 
120
-0.5000 
0.8660 
135
-0.7071 
0.7071 
150
-0.8660 
0.5000 
165
-0.9659 
0.2588 
180
-1.0000 
0.0000 
195
-0.9659 
-0.2588 
210
-0.8660 
-0.5000 
225
-0.7071 
-0.7071 
240
-0.5000 
-0.8660
255
-0.2588 
-0.9659 
270
0.0000 
-1.0000 
285
0.2588 
-0.9659 
300
0.5000 
-0.8660 
315
0.7071 
-0.7071 
330
0.8660 
-0.5000 
345
0.9659 
-0.2588 
360
1.0000 
0.0000 

 

■ 媒介変数の消去とは -- 媒介変数表示をx,yの関係式に直すには,媒介変数を消去します。それはなぜ?
 

例 次の媒介変数表示において,tがすべての実数を変化するとき,点x,yの通るグラフの方程式をx,yの関係式で表わすことを考えると:
x = 2t + 1・・・(1)
y = 3t - 1・・・(2)
(1)(2)は,次の式と同じ

ここで,t が表舞台にいなくてもxとyはつながっていることに気をつけると
すなわち,x,yの関係式は
3(x - 1) = 2(y + 1)
あるいは
3x - 2y - 5 = 0 ・・・答
t:必要ならばいつでも登場できるが,当面舞台から隠れる
xとy:つながっている

 
 

※ 左の□枠内において,共通の t が2つの表現で結ばれているのが第1のポイントです。

※ 次にt が舞台から消えるのが第2のポイントです。

■ 要点 --媒介変数の消去 (x,y関係式; 軌跡の方程式の求め方)
手順1
 媒介変数について解いて,代入消去する必要はなく,ただ単に媒介変数を消去すればよい。

手順2
 元の関係式・・(1) → x.yの関係式・・(2)
において(2)は(1)の必要条件に過ぎないので,十分性の検討が重要
すなわち,(2)の全部が(1)を満たしているかどうかの検討が重要。(2)のうち一部の点が解でない場合(除外点)や一部の区間が解でないことがあるので要注意。

 媒介変数に付着していた条件は,媒介変数を消去したときは,生き残ったx,yで引き継ぐことが重要。

そこで一句:[死者の遺言は,戦友が引き継ぐ]

○1
 上の例のように,2つの式をt について明示的に解いて,これらが等しいことから,x,yの関係式を求められる場合があります。

□2
 2つの式から t を明示的に解くことができなくても,1つの式から t =・・・ の形に直し,もう一方の式に代入することによりt を消去してx,yの関係式が求められる場合があります。

●3
 t を代入消去するときに,媒介変数に付着していた条件は,xやyの条件として引き継がなければならないことがあります。

■4
 一旦 t= という形に解くことは重要でなく,ただ単に t が消去できればよいので,x,yの式をよく観察して関係式を作ります。


 媒介変数が簡単には消去できないものもあります。
ア このようなものにおいては,曲線の方程式は媒介変数表示でのみ表わされます。
イ 曲線の概形が必要なときは,幾つかのtの値を元に,点をプロットすれば分かります。
 表計算ソフトExcelで次の赤枠部分を選択してから,グラフ→散布図などとします。

例○1 次の媒介変数表示をx,yの関係式に直しなさい。
x = -t +3・・(1)
y = 2t + 1・・(2)
(t は全実数)・・(3)


(1)より t = 3 - x
これを(2)に代入
y = (3 - x) + 1= -x +4 ・・・答・・(4)
(なお,(3)よりxも全実数となり(4)の直線の全部が答。
数学では「制限のあるものは言わなければならない」が,「制限のないものは,何も言わなくてよい」ので
単に y = -x +4 を答とすればよい。)
例□2 次の曲線の方程式を,yをxの関数として表わしなさい。
x = t - 1・・(1)
y = 2t2 + 3・・(2)
(数学では「制限のあるものは言わなければならない」が,「制限のないものは,何も言わなくてよい」ので,特に記述がなければ,t は全実数:制限がないものとして扱う)・・(3)


(1)より t = x + 1
これを(2)に代入すると
y =2(x + 1)2 + 3・・答・・(4)
(t は全実数で,(1)よりxは全実数:何も言わなくてよい。)
例●3 次の式で表わされる点(x,y)が動く軌跡の方程式を求めなさい。
x = √t・・(1)
y = 3t + 1・・(2)


(1)より x =√t ≧ 0
[t は消える → 条件はxが引き継ぐ:x≧0
(1)よりt = x2 を(2)に代入
y = 3x2 + 1 (x≧0)・・・答
例■4 実数 t が変化するとき,次の点(x,y)がどのような曲線上を動くか述べなさい。
x = cost・・(1)
y = sint・・(2)


sin2t + cos2t = 1はどんなtについても成立するから
x2 + y2 = 1・・答・・(3)
(実際には,(1)(2)において-1≦cost≦1,-1≦sint≦1だから-1≦x≦1,-1≦y≦1であるが,(3)を満たすx,yはこの制限を満たしているので,定義域について何も言わなくてよい。)
例※ 次の媒介変数表で表わされる曲線(サイクロイド)は,媒介変数の消去によるx,y関係式に簡単にはできません。
x = t - sint
y = 1 - cost
Excelのグラフで散布図を選択すると次のような概形が描けます。
■ 問題
1 次の媒介変数表示で表わされる曲線の方程式を右の選択肢から選びなさい。
 
[選択肢]
 
 
[ヒント]
[参考]
2 次の媒介変数表示で表わされる曲線の方程式を右の選択肢から選びなさい。
[選択肢]
y = 2x y =2x2
y = 2(1 - x) y = 2(1 - x2)
[ヒント]
[参考]
(む)3 次の媒介変数表示で表わされる曲線の方程式を右の選択肢から選びなさい。
[選択肢]

x2+y2 = 1 (点(1,0)を除く) x2+y2= 1 (点(-1,0)を除く)
x2+y2 = 1 (点(0,1)を除く) x2+y2= 1 (点(0,-1)を除く)

[ヒント]
[参考]


4 t が全実数を変化するとき,次の2直線の交点の軌跡の方程式を求めなさい。
tx - y - t = 0 ・・・(1)
x + ty + 1 = 0 ・・・(2)
[選択肢]

x2+y2 = 1 (点(1,0)を除く) x2+y2= 1 (点(-1,0)を除く)
x2+y2 = 1 (点(0,1)を除く) x2+y2= 1 (点(0,-1)を除く)

[ヒント]
[参考]

●==メニューに戻る