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■行列の乗法の性質

 [解説]

行列の積が定義できるとき,一般に
1 (積に関する)結合法則が成立します。
(AB)C=A(BC)
 型については,
×型][×型][×型]→[p×s型]
となります。(しりとりのルールです。)

2 (和の上への積の)分配法則が成立します。

(A+B)C=AC+BC
C(A+B)=CA+CB


※ 当然のようですが,説明は難しい事柄:
 数字でも行列でも,積の上へ和は分配的ではありません。(分配法則は決して当たり前のことではありません。)

(a × b) + c  (a + c) × (b + c)
(A × B) + C  (A + C) × (B + C)
結合法則が成立する例:
に等しい。
※ 結合法則や分配法則の成立を一般的に示すには,行列の型に応じて,成分の数だけ両辺を比較する「息の長〜い計算」をします。(略)
 .
左右の位置を入れ替えても積が定義できる場合について,
[重要] (積に関する)交換法則は成立しません。
すなわち,AB=BAは必ずしも成立しません

※ 交換法則が成立するとは,「すべてのA,Bについて,AB=BAが成立する」ということで,1つでもAB≠BAとなる例があれば,交換法則は成立しないといいます。
したがって,交換法則が成立しないという主張にとって,AB=BAとなる例が幾つあっても関係ありません。

 たとえ話による解説:
「この部屋にいるのは全員男子である」という主張が間違っていることを示すには,「この部屋に少なくとも1人は女子がいる」ことを示せばよく,「この部屋にいるのが全員女子である」ことを示す必要はありません。

※A,Bが正方行列でないときは,積の型が異なるためAB≠BAは自明です:
→ [3×2型][2×3型]=[3×3型]になります。
→ [2×3型][3×2型]=[2×2型]になります。
[問題]
 2×2行列A,Bで,AB≠BAとなる例を(上の例以外で)1つ示しなさい。(例は幾らでもあります。1つ示せばよろしい。)

[ア]=,[イ]=,[ウ]=,[エ]=,[オ]=,[カ]=,[キ]=,[ク]=
 2×2行列A,Bで,AB=BAとなる例を1つ示しなさい。(例は幾らでもあります。1つ示せばよろしい。ただし,A,B異なるもので示しなさい。)

[ケ]=,[コ]=,[サ]=,[シ]=,[ス]=,[セ]=,[ソ]=,[タ]=

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