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■実数係数方程式の虚数解
 ■解説
■要点:
 係数が実数である方程式が 虚数解 をもつと,なぜうれしいか?

<例>
係数が実数であるような方程式
 x3 + ax2 + bx − 5 = 0 
虚数解x = 1 + 2i をもつとき・・・

右のようにしてa,bの値が定まり,残りの解も求まります。


虚数 x = 1 + 2i  が解であるとき,
(1 + 2i )3 + a(1 + 2i )2 + b(1 + 2i ) − 5 = 0 から
(a,bの式1)+(a,bの式2)i =0 ・・・(A)
のように変形すると,

a,bが実数であるから
連立方程式 
{ (a,bの式1)=0 ・・・(1)
(a,bの式2)=0 ・・・(2)

から,a,bが定まり,残りの解も求まります。

ポイントは(A)の式が、2つの式に分けられるところにあります:
○が実数のとき
□+○i = 0 ならば □=0 かつ○=0


実数 x = 1 などが解であるような場合,
13 + a×12 + b ×1 − 5 = 0 からは
a + b 4 =0  となり,
未知数が2つで方程式が1つのため,a,bが定まりません。
 ■解説
例題
 a,bは実数の定数とする。3次方程式
x3 + ax2 + bx − 5 = 0  虚数解 x = 1 + 2i をもつとき,定数a,bの値を求めよ。また,他の解を求めよ。
答案
x = 1 + 2i が解であるから,
(1 + 2i )3 + a(1 + 2i )2 + b(1 + 2i ) − 5 = 0 
これを整理すると,
1+3×2i+3(2i)2+(2i)3+a(1+4i+4i2)+b(1+2i)-5=0
(1+6i-12-8i)+a(-3+4i)+b(1+2i)-5=0
(-11-2i)+a(-3+4i)+b(1+2i)-5=0
(-3a+b-6)+(4a+2b-2)i=0
{ -3a+b-6=0 ・・・(1)
4a+2b-2 = 0 ・・・(2)
 これより,a=-3, b=7 ・・・(答)

 また,x3 − 3x2 + 7x − 5 = 0 を因数定理を用いて解くと
 (x - 1)(x2 - 2x + 5) = 0 より  x = 1, 1 + 2i, 1 - 2i
他の解は,x = 1, 1 - 2i ・・・(答)

==> ■問題1
 a,bは実数の定数とする。3次方程式 x3 + ax2 + bx + 5 = 0  虚数解 x = 2  + i をもつとき,定数a,bの値を求めよ。また,他の解を求めよ。

答案 (次の空欄を埋めなさい)
x = 2  + i が解であるから,(2  + i )3 + a(2  + i )2 + b(2  + i ) +5 = 0 
これを整理すると,
(8+12i+6i2+i3)+ a(4+4i+i2) +b(2+i)+ 5 = 0
(8+12i-6-i)+a(4+4i-1) +b(2+i)+ 5 = 0
(2+11i)+ a(3+4i)+b(2+i)+ 5 = 0
(2+3a+2b+5)+(11+4a+b)i=0
(3a+2b+7)+(4a+b+11)i=0
{
a + b + = 0 ・・・(1)
4a + b + = 0 ・・・(2)
 これより,a=, b= ・・・(答)  また,x3− 3x2 + x + 5 = 0 を因数定理を用いて解くと, 
 (x + 1)(x2 - 4x + 5) = 0 より  x = -1, 2 + i, 2 - i 他の解は,x =  -1,  2 - i ・・・(答)


==> ■問題2
 a,bは実数の定数とする。3次方程式 x3 + ax2 + bx + 3 = 0 
虚数解 x = 1  - sqrt(2)をもつとき,定数a,bの値を求めよ。


答案

a=, b= ・・・(答)


■別解2
「実数係数方程式が虚数解(p+qi (q≠0))を解に持つならば,その共役複素数(p-qi)も解である」ことを用いると,次のように解くことができます。

例題
 a,bは実数の定数とする。3次方程式
x3 + ax2 + bx − 5 = 0  虚数解 x = 1 + 2i をもつとき,定数a,bの値を求めよ。また,他の解を求めよ。
==>
 そこで
x3 + ax2 + bx − 5  x2 -2x +5 で割ると割り切れるはずだから
答案
実数係数方程式
x3 + ax2 + bx − 5 = 0 
虚数解
α=1 + 2i をもつから,その共役複素数 β=1 - 2i も解となる。
 α,βが解となる2次方程式は,α+β=2,αβ=5 より解と係数の関係を用いて
x2 -2x +5 = 0
==>
より, 2a + b - 1 = 0,  - 5a - 15 = 0
a = -3, b = 7 ・・・(答)
このとき,商は x  + (a+2) = x - 1
 (x - 1)(x2 - 2x + 5) = 0 より  x = 1, 1 + 2i, 1 - 2i
他の解は,x = 1, 1 - 2i ・・・(答)
==>■問題2をこの方法で解きなさい。(空欄を埋めなさい) 
 a,bは実数の定数とする。3次方程式 x3 + ax2 + bx + 3 = 0 
虚数解 x = 1  - sqrt(2)をもつとき,定数a,bの値を求めよ。


答案
実数係数方程式 x3 + ax2 + bx + 3 = 0 
虚数解  - sqrt(2)をもつから
+ sqrt(2) i も解となる。
これら2数を解とする2次方程式は
x2 − 2x + 3 =  0
(x3 +ax2 + bx + 3)÷(x2 − 2x  + 3) = (x+(a+2))・・・(a + b + )x+( a - )
割り切れて余りが0となるはずなので a + b + = 0 ,  a - = 0
a=, b= ・・・(答)



■別解3
答だけなら簡単に分かる方法(記述式問題なら減点覚悟)

例題
 a,bは実数の定数とする。3次方程式 x3 + ax2 + bx − 5 = 0  虚数解 x = 1 + 2i をもつとき,定数a,bの値を求めよ。また,他の解を求めよ。
考え方
x = 1 + 2i 
を解とする実数係数の2次方程式は
x - 1 = 2i の辺々を2乗して
注意
x = 1 + 2i のまま両辺を2乗するとiが消えない。
2i だけを2乗するように右辺に残すところがミソ。
x2 -2x+ 1 = -4
x2 -2x+ 5 = 0
==>
==>
(x3 + ax2 + bx − 5)÷
(
x2 -2x +5)
=
x  + (a+2) ・・・(2a + b - 1)x+( - 5a - 15)
2a + b - 1 = 0,  - 5a - 15 = 0 より
a = -3, b = 7 ・・・(答)
■有理係数方程式の無理数解
別解3の考え方は,有理係数方程式が無理数解をもつときにも,使えます。
例題
 a,bは有理数の定数とする。3次方程式 x3 + ax2 + bx − 1 = 0  無理数解 x = 1 +√ 2 をもつとき,定数a,bの値を求めよ。また,他の解を求めよ。
考え方
x = 1 + √2 
を解とする実数係数の2次方程式は
x - 1 = √2 の辺々を2乗して
注意
x = 1 + √2 のまま両辺を2乗すると√ が消えない。
√2 だけを2乗するように右辺に残すところがミソ。
x2 -2x+ 1 = 2
x2 -2x - 1 = 0
==>
==>
(x3 + ax2 + bx − 1) ÷ (x2 -2x - 1)
= x + (a + 2) ・・・(2a+b+5)x+(a+1)
割り切れるはずだから
2a + b + 5 = 0
a + 1 = 0

a = -1, b = -3・・・(答)
■解説 
 a,b,c,dは有理数の定数とする。
4次方程式 x4 + ax3 + bx2 + cx + d = 0 

解 x = √3  - √2 i  をもつとき,定数
a,b,c,dの値を求めよ。

答案
まず,実係数の方程式を作る。
x -  √3  = - √2 i  の辺々を2乗して
==>
==>
x2 - 2√3x + 3 = -2

次に有理数の方程式を作る。
x2  + 5 =  2√3x の辺々を2乗して
x4 + 10x2 + 25 = 12x2
x4 - 2x2 + 25 = 0
ゆえに,a = 0, b = -2, c = 0, d = 25 ・・・(答)
■このページのまとめ
「実数係数方程式は虚数解をもつとき」や「有理数係数方程式が無理数解をもつとき,係数a,b,・・・などを求めるには
[解法1]

x = 2 
+ i や 
x = 1 + √2 を代入して実部,虚部に分ける方法は常に有効
(特別な受験勉強を必要としないので現役向きのオーソドックスな答案となる。
計算力を要する点だけが要注意。)
[解法2]
実数係数や有理数係数の2次方程式を作り,割り算により商と余りをa,b,・・・で表し,余りが0となるべきことからa,b,・・・を求める方法は,方法を覚えておく必要があるが,計算量は少なくて済む傾向がある。
[解法3]
与えられた数を解とする実数や有理数の問題を作ってしまう方法は,それしかないことを記述するのが難しい(記述答案では減点覚悟)が,係数a,b,・・・の答だけならすぐ求まる。

==>■まとめの問題
問題
a,b,c,d
 は整数の定数とする。x=√2 + i が4次方程式 x4 + ax3 + bx2 + cx + d = 0 の解となるとき,a,b,c,dの値を求めなさい。

答案1
x=√2 + i  x4 + ax3 + bx2 + cx + d = 0 に代入すると(√2 + i)4 + a(√2 + i)3 + b(√2 + i)2 + c(√2 + i) + d = 0
ここで,
(√2 + i)2 = 1+2√2i
(√2 + i)3 =(1+2√2i)(√2+i)=-√2+5i
(√2 + i)4 =(-√2+5i)(√2 + i)=-7+4√2i を用いて書き直すと
(計算間違いが多い人には,このように仕事を分けて着実に行うのがお勧め)
(
-7+4√2i )+a(-√2+5i)+b( 1+2√2i)+c(√2 + i)+d=0
{( b + d   -7) + (c - a)√2 } + {(5a + c) + (2b + 4)√2}i=0
a,b,c,d
は実数だから
( -7 + b + d) + (c - a)√2  = 0・・・(1)
(5a + c) + (2b + 4)√2 = 0 ・・・(2)
(1)においてa,b,c,dは有理数だから
b + d  -7 = 0・・・(3)
c  -  a  =  0・・・(4)
(2)においてa,b,c,dは有理数だから
5a  +  c = 0・・・(5)
2b  +  4  = 0・・・(6)
(3)(4)(5)(6)より
a = , b = ,c = , d = ・・・(答)

答案2(穴埋め問題など答だけを書けばよいときのみ)
x=√2 + i → x -√2 = i  → x2-2√2x + 2 = -1
 → 2-2√2x + 3 = 0
次に
2 + 3 = 2√2x → x4 + 6x2 + 9 = 8x2
 → x4 -2x2 + 9 = 0
a = 0, b= -2,  c = 0, d = 9・・・(答)

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