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■三角関数の合成公式
◆難易:教科書程度◆--難しいと思う人は下の基本チェックを先に↓
◆センター試験2002年度数II・B第1問[1]の引用◆
aを正の定数とし,角θの関数
f(θ)=sin(aθ)+√3cos(aθ)
を考える。
(1) f(θ)=[ア]sin(aθ+[イウ]°)である。
[ア]=,[イウ]=
(2) f(θ)=0を満たす正の角θのうち
 最小のものは
 であり,小さい方から数えて4番目と5番目のものは,それぞれ
 である。
[エオカ]=,[キクケ]=,[コサシ]=
  
(3) 0°≦θ≦180°の範囲で,f(θ)=0を満たすθがちょうど4個存在するようなaの範囲は
である。
[スセ]=,[ソ]=,[タチ]=,[ツ]=

[ヒント] [ヒント] [ヒント]
■基本のチェック
■三角関数の合成公式
◆解説1◆加法定理から計算によって示す方法
sinθcosα+cosθsinα=sin(θ+α)・・・(4)だから
 例えば
と合成できる

 しかし,一般にはa,bがそのままの値でcosα,sinαになっているとは限らないので,何倍か掛けたり割ったりして一つの角度αのcosα,sinαになるように変形する。
 例えば

「一般の場合
  
aやbが負の値のときはαを第2,3,4象限の角とします。



◆解説2◆図で示す方法
[注意]
■積→和の公式は、sinA±sinB,cosA±cosBのように同種の三角関数の和差です。
■合成公式は、係数は付きますが1つの角度についての asinθ+bcosθの形です。

■sinA±cosB <=== 異なる種類の三角関数で角度も異なるもの
 a・sinθ+b・sinθ <=== 同種の三角関数だが係数が異なるもの
 a・sinC+b・cosD <=== 異なる種類の三角関数で、係数も異なり、角度も異なるもの
==> これらはについては、積→和の公式、合成公式のいずれでも扱っていません。

■基本のチェックテスト
1 三角関数の合成公式
(1) sinθ+cosθ=sin(θ+[イ]°) 
(0°<[イ]<180°)
[ア]=,[イ]=
(2) √3sinθ-cosθ=[ウ]sin(θ-[エ]°)
(0°<[エ]<180°)
[ウ]=,[エ]=
(3) 2sinθ+cosθ=sin(θ+α)
(ここで,αは 
となる角)
[オ]=,[カ]=,[キ]=

[ク]=,[ケ]=


[ヒント] [ヒント] [ヒント]
■基本のチェック
■y=sin kθ のグラフ
y=sin2θのグラフはy=sinθのグラフを横方向に半分に縮めたものです。
y=sin3θのグラフはy=sinθのグラフを横方向に3分の1に縮めたものです。
(x軸方向に伸びるのでなく縮みます<==角度が速く回るから。)
θ
0
15
30
45
60
75
90
105
120
135
150
165
180
0
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
0
45
90
135
180
225
270
315
360
405
450
495
540
0°<θ<180°において
y=sinθとx軸の共有点はありません。
y=sin2θとx軸の共有点は1つあります。
y=sin3θとx軸の共有点は2つあります。

y=sink(θ-30°)のグラフは,y=sinkθのグラフをx軸の正の向きに30°だけ平行移動したものなので
0°<θ<180°において
y=sin(θ-30°)とx軸の共有点は1つあります。
y=sin2(θ-30°)とx軸の共有点は2つあります。
y=sin3(θ-30°)とx軸の共有点は3つあります。

k>0のとき,0°<θ<180°において
y=sinkθのグラフがx軸と1つの共有点を持つような定数kの値の範囲は1<k≦2
y=sinkθのグラフがx軸と2つの共有点を持つような定数kの値の範囲は2<k≦3
y=sinkθのグラフがx軸と3つの共有点を持つような定数kの値の範囲は3<k≦4


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