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■積の微分
■積で表される関数の導関数は,
で定義されます。

■ここで,本来の導関数の定義:に当てはめて,この式をf’(x)やg’(x)を用いて表したいとき,

f(x+h)g(x+h) - f(x)g(x) の形
では2つの関数が同時に変化しているので,f’g’に結びつけられません。
右のイメージ図のように,一度に1つの関数だけが変化するように,「つなぎ」の材料を引いて足す(引いて足せば元の式に等しい)という操作をします。
■右図()の経路を考えると,
f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x+h)+f(x)g(x+h)-f(x)g(x)
={ f(x+h)-f(x)} g(x+h)+f(x) { g(x+h)-g(x)}
となり,h→0の極限移行により,
 
積の導関数の公式
y = f(x)g(x) のとき    
y’ = f’(x)g(x) + f(x)g’(x)

 

 

の経路から行けば,分子は

f(x+h)g(x+h)-f(x+h)g(x)+f(x+h)g(x)-f(x)g(x)
=f(x+h){ g(x+h)-g(x) } + { f(x+h)-f(x) } g(x)
となり,h→0の極限移行により,
f’(x)g(x)+f(x)g’(x)

■3つ以上の関数の積になっているときは,2つのときの公式を繰り返し適用すればできます。
y = f(x)g(x)h(x) のとき    
y’ = {f(x)g(x)}’h(x) + f(x)g(x)h’(x)
  ={ f’(x)g(x)+f(x)g’(x) } h(x) +f(x)g(x)h’(x)
  =f’(x)g(x)h(x)+f(x)g’(x)h(x) +f(x)g(x)h’(x)

・・・「こぶ」は1つずつです。
※このh(x)はlimのhとは関係ありません。
--
[問題]
次の関数の微分を求めなさい。(初めに関数を選び,次に導関数を選びなさい。正しく対応していれば消えます。選択肢が少ないので,間違えば「〜♪♪〜」)
[関数]





[導関数]





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